O categorie specifică în matematică este o categorie echipată cu un functor strict în categoria mulțimilor . Datorită acestui functor, puteți opera asupra obiectelor din această categorie într-un mod similar cu lucrul cu mulțimi cu structură suplimentară și puteți reprezenta morfismele ca funcții care păstrează structura suplimentară. Multe categorii au o interpretare evidentă a categoriilor concrete, cum ar fi categoria de grupuri, categoria de spații topologice și categoria de mulțimi propriu-zisă. Pe de altă parte, există categorii nespecificate; de exemplu, categoria de homotopie a spațiilor topologice este neincrementală, adică nu admite un functor strict în categoria mulțimilor.
O categorie concretă este o pereche ( C , U ) astfel încât:
Functorul U este un functor uituc care asociază un obiect de categorie cu „multul său purtător”.
O categorie C este concretizabilă dacă există un functor strict de la ea la categoria mulţimilor. În special, toate categoriile mici sunt instanțiabile: un functor U poate fi definit ca un functor care trimite un obiect b din categoria C la mulțimea tuturor săgeților f : a → b (pentru toate obiectele posibile a ), și un morfism g : b → c din categoria C la un morfism U ( g ): U ( b ) → U ( c ), care mapează săgeata f : a → b la compoziția gf : a → c .
Contrar intuiției, „concretețea” nu este o proprietate pe care o poate avea sau nu o categorie, ci o structură suplimentară cu care poate fi înzestrată, iar o categorie poate permite, de asemenea, mai mulți functori stricti într-o mulțime . Cu toate acestea, în practică, acest functor este de obicei evident.
Cerința ca U să fie riguros înseamnă că mapează diferite morfisme cu imagine fixă și preimagine la diferite funcții pe mulțimi. Cu toate acestea, poate „lipi” obiecte din categorii diferite și, dacă o face, va mapa diferite morfisme într-o singură funcție.
De exemplu, dacă S și T sunt două topologii diferite pe aceeași mulțime X , atunci ( X , S ) și ( X , T ) sunt obiecte diferite din categoria Top de spații topologice și mapări continue, dar sunt mapate la aceeași setați X sub functorul acțiune uitator Sus → Setați . Mai mult, morfismele de identitate ( X , S ) → ( X , S ) și ( X , T ) → ( X , T ) sunt înțelese ca morfisme diferite în Top , dar corespund aceleiași funcții, și anume funcția de identitate pe X. .
O categorie se numește non-incrementală dacă nu există un functor strict de la ea la categoria mulțimilor.
De exemplu, categoria hTop , ale cărei obiecte sunt spații topologice și ale cărei morfisme sunt clase de funcții homotopice, nu este instanțiabilă. Deși obiectele acestei categorii pot fi reprezentate ca mulțimi, morfismele din ea nu sunt funcții, ci mai degrabă clase de funcții. Absența unui functor strict din hTop în Set a fost dovedită de Peter Freud în 1970 . Anterior, s-a arătat că categoria tuturor categoriilor mici și transformărilor naturale este neconcretă.