Setați categoria

O categorie de mulțimi  este o categorie ale cărei obiecte sunt mulțimi, iar morfismele dintre mulțimile A și B  sunt toate funcții de la A la B. Notat cu Set . În axiomatica lui Zermelo-Fraenkel , „mulțimea tuturor mulțimilor” nu există și nu este foarte convenabil să lucrezi cu conceptul de clasă ; au fost propuse mai multe soluții diferite pentru această problemă. [1] [2] [3]

Proprietăți ale categoriei de mulțimi

• Toate epimorfismele din set sunt surjective , toate monomorfismele  sunt injective și toate izomorfismele  sunt bijecții .
• Mulțimea goală  este obiectul inițial al categoriei de mulțimi, orice singleton  este obiectul terminal .
• Categoria Set  este o categorie completă și cocompletă . De exemplu, conține produse ( produse carteziene de mulțimi ) și coproduse ( uniuni disjunctive de mulțimi ).
• Set  este prototipul conceptului unei categorii specifice , o categorie este specifică dacă este „similar cu” Set într- un mod strict definit.
• Orice submulțime de două elemente specifică un clasificator de subobiect în Set , obiectul de putere al mulțimii A este booleanul său , iar exponențialul mulțimilor A și B  este mulțimea de funcții de la A la B . Prin urmare , Set este un topos , în special, o categorie închisă carteziană .
• Setul nu este abelian , aditiv sau preaditiv . Morfismele sale nule  sunt funcțiile goale ∅ → X [4] .
• Fiecare obiect Set non-inițial este injectiv și (presupunând că axioma alegerii este adevărată ) proiectiv .

Note

1. ↑ Mac Lane, 1969 .
2. ↑ Feferman, 1969 .
3. ↑ Blass, 1984 .
4. ↑ Pareigis, 1970 , Secțiunea I.7.

Literatură

• McLane S. Capitolul 1. Categorii, functori şi transformări naturale // Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• Blass, A. Interacțiunea dintre teoria categoriilor și teoria mulțimilor  // Contemporary Mathematics. - 1984. - Nr. 30 .
• Feferman, S. Fundamentele teoretice ale seturilor teoriei categoriilor . - Springer, 1969. - Vol. 106. - P. 201-247. — (Note de curs la matematică).
• Lawvere, F.W. O teorie elementară a categoriei mulțimilor (versiunea lungă) cu comentariu  // Reprints in Theory and Applications of Categories. - 2005. - Nr. 11 . - S. 1-35 .
• Mac Lane, S. Fundamente pentru categorii și seturi . - Springer, 1969. - Vol. 92. - P. 146-164. — (Note de curs la matematică).
• Mac Lane, S. Un univers ca fundație pentru teoria categoriilor . - Springer, 1969. - Vol. 106. - P. 192-200. — (Note de curs la matematică).
• Pareigis, Bodo. Categorii și functori . - Academic Press, 1970. - (Matematică pură și aplicată). — ISBN 978-0-12-545150-5 .