Lema Zolotarev

În teoria numerelor, Lema Zolotarev afirmă că simbolul Legendre

\left({\frac {a}{p}}\right)

pentru un număr întreg a modulo un număr prim impar p care nu împarte a , poate fi calculat ca semn de permutare:

\left({\frac {a}{p}}\right)=\varepsilon (\pi _{a})

unde ε desemnează semnul permutației și π este permutarea resturilor non-nule mod p , obținută prin înmulțirea cu a .

Dovada din lema lui Gauss

Lema Zolotarev este ușor derivată din lema Gauss și invers. De exemplu,

\left({\frac {3}{11}}\right)

este simbolul Legendre (a / p) pentru a = 3 și p = 11. Să începem cu mulțimea {1,2, ..., p-1} ca o matrice de două rânduri, astfel încât suma celor două elementele oricărei coloane sunt egale cu zero modulo r , de exemplu:

unu	2	3	patru	5
zece	9	opt	7	6

Să aplicăm o permutare (mod p): $U:x\ maps to ax$

3	6	9	unu	patru
opt	5	2	zece	7

De asemenea, coloanele au proprietatea că suma a două elemente dintr-o coloană este zero modulo p. Acum aplicați substituția V , care va schimba oricare două perechi în care membrul de sus a fost inițial membrul de jos:

3	5	2	unu	patru
opt	6	9	zece	7

În cele din urmă, aplicăm permutarea W, care va returna matricea originală:

unu	2	3	patru	5
zece	9	opt	7	6

Astfel W −1 = VU. Lema Zolotarev afirmă că (a / p) = 1 dacă și numai dacă permutarea U este pară. Lema Gauss afirmă că (a / p) = 1 dacă și numai dacă V este par. Dar W este par, deci ambele leme sunt echivalente pentru date (dar arbitrare) a și p .

Caz general

În general, fie orice grup finit de ordin par . Fie un element de ordine . Pe de o parte, dacă , atunci nu este un pătrat în dacă și numai dacă , adică este impar, ci este par. Pe de altă parte, să fie permutarea generată de elementul . Este clar că poate fi descompus într-un produs de cicluri de aceeași lungime . Paritate de permutare . Aceasta înseamnă că este o permutare impară dacă și numai dacă decade într-un număr impar de cicluri de lungime pară . Astfel, este chiar dacă și numai dacă este un pătrat. $G$ $n$ $a\în G$ $d$ $n=2^{r}q,2\nmid q$ $A$ $G$ $2^{r}\mid d$ ${\frac {n}{d)}$ $d$ $\pi _{a}:g\mapsto ag$ $A$ $\pi _{a}$ ${\frac {|G|}{d))$ $d$ ${\displaystyle \varepsilon (\pi _{a})=(-1)^({\frac {|G|}{d}}(d-1)))$ $\pi _{a}$ $\pi _{a}$ ${\frac {|G|}{d))$ $d$ $\pi _{a}$ $A$

Declarația pentru simbolul Legendre este obținută luând grupul de reziduuri nenule modulo . Ordinea acestui grup este , și deci chiar pentru . $G$ ${\mathbb {Z}}_{p}^{{\times }}$ $p$ $p-1$ $p>2$

Istorie

Această lemă a fost folosită de Egor Ivanovici Zolotarev în 1872 în noua sa demonstrație a reciprocității pătratice .

Note

Zolotareff G. Nouvelle demonstration de la loi de réciprocité de Legendre (franceză) // Nouvelles Annales de Mathématiques :revistă. - 1872. - Vol. 11 . - P. 354-362 .

Link -uri

Un articol despre resursa PlanetMath despre lema lui Zolotarev; include dovada sa de reciprocitate patratică.