Teoria numerelor

Teoria numerelor sau aritmetica superioară  este o ramură a matematicii care a studiat inițial proprietățile numerelor întregi . În teoria modernă a numerelor, sunt luate în considerare și alte tipuri de numere - de exemplu, algebrice și transcendentale , precum și funcții de diverse origini care sunt asociate cu aritmetica numerelor întregi și generalizările acestora.

În studiile despre teoria numerelor, alături de aritmetică și algebră , sunt utilizate metode geometrice și analitice , precum și metode de teoria probabilităților [1] . La rândul său, teoria numerelor a influențat dezvoltarea analizei matematice , geometriei , algebrei clasice și moderne , a teoriei însumabilității seriilor , a teoriei probabilităților etc. [2] .

Conform metodelor sale, teoria numerelor este împărțită în patru părți: elementară, analitică, algebrică și geometrică. Metodele teoriei numerelor sunt utilizate pe scară largă în criptografie , matematică computațională , informatică [2] .

Clasificare

Teoria elementară a numerelor

În teoria numerelor elementare, numerele întregi sunt studiate fără a folosi metodele altor ramuri ale matematicii. Dintre principalele domenii tematice ale teoriei elementare a numerelor se pot distinge următoarele [3] :

Teoria analitică a numerelor

Teoria analitică a numerelor folosește puternicul aparat de analiză matematică (atât reală, cât și complexă), uneori și teoria ecuațiilor diferențiale, pentru a deriva și dovedi afirmații despre numere și funcții numerice . Acest lucru a făcut posibilă extinderea semnificativă a domeniului de cercetare în teoria numerelor. În special, include următoarele noi secțiuni [3] :

Teoria numerelor algebrice

În teoria numerelor algebrice, conceptul de număr întreg este extins, iar rădăcinile polinoamelor cu coeficienți raționali sunt considerate numere algebrice . A fost dezvoltată o teorie generală a numerelor algebrice și transcendentale . În acest caz, numerele algebrice întregi , adică rădăcinile polinoamelor unitare cu coeficienți întregi , acționează ca un analog al numerelor întregi . Spre deosebire de numerele întregi, proprietatea factorială , adică unicitatea factorizării în factori primi, nu este neapărat satisfăcută în inelul numerelor întregi algebrice.

Teoria numerelor algebrice își datorează apariția studiului ecuațiilor diofantine , inclusiv încercărilor de a demonstra ultima teoremă a lui Fermat . Kummer deține egalitatea

unde  sunt rădăcinile puterii unității. Astfel, Kummer a definit noi numere întregi de forma . Mai târziu, Liouville a arătat că dacă un număr algebric este o rădăcină a unei ecuații de grad , atunci nu poate fi abordat mai aproape decât prin , apropiindu-se prin fracții de forma , unde și  sunt numere întregi între prime [4] .

După definirea numerelor algebrice și transcendentale în teoria numerelor algebrice, s-a evidențiat o direcție care se ocupă de demonstrarea transcendenței numerelor specifice, și o direcție care se ocupă de numerele algebrice și studiază gradul de aproximare a acestora cu cele raționale și algebrice. [4] .

Unul dintre trucurile principale este acela de a îngloba câmpul numerelor algebrice în completarea lui în funcție de unele dintre metricile - arhimediene (de exemplu, în domeniul numerelor reale sau complexe) sau non-arhimediene (de exemplu, în domeniul p . -numere adice ).

Teoria numerelor geometrice

Teoria numerelor geometrice studiază în principal „rețele spațiale” - sisteme de puncte cu coordonate întregi (într-un sistem de coordonate dreptunghiular sau oblic). Aceste construcții sunt de mare importanță pentru geometrie și pentru cristalografie , studiul lor este strâns legat de teoria aritmetică a formelor pătratice și de alte ramuri importante ale teoriei numerelor. Fondatorul teoriei numerelor geometrice a fost Herman Minkowski [2] .

Contur istoric

Teoria numerelor în lumea antică

În Egiptul antic, operațiile matematice erau efectuate pe numere întregi și fracții alicote [5] . Papirusurile matematice conțin probleme cu soluții și tabele auxiliare [6] . O utilizare și mai largă a tabelelor este caracteristică Babilonului , care, urmând sumerienilor, a folosit sistemul numeric sexagesimal . Textele matematice cuneiforme babiloniene includ tabele de înmulțire și reciproce, pătrate și cuburi de numere naturale [7] . În Babilon erau cunoscute multe triple pitagorice, pentru căutarea cărora probabil au folosit o tehnică generală necunoscută [8] . Cea mai veche descoperire arheologică din istoria aritmeticii este un fragment din tăblița de lut Plympton, 322 , datând din anii 1800 î.Hr. e. Conține o listă de triple pitagoreice , adică numere naturale astfel încât . Există numere de cinci cifre în triple și sunt prea multe dintre ele înșiși pentru a sugera că au fost obținute prin enumerarea mecanică a opțiunilor [1] .

O contribuție semnificativă la dezvoltarea teoriei numerelor a avut-o pitagoreenii, Euclid și Diophantus . Pitagorei considerau numai numere întregi pozitive și considerau un număr ca fiind o colecție de unități. Unitățile erau indivizibile și dispuse sub formă de corpuri geometrice regulate. Pitagoreii se caracterizează prin definiția „ numerelor creț ” („triunghiulare”, „pătrat” și altele). Studiind proprietățile numerelor, le-au împărțit în pare și impare, prime și compuse. Probabil, pitagoreenii au fost cei care, folosind doar testul de divizibilitate cu doi, au putut demonstra că dacă  este un număr prim, atunci  este un număr perfect . Dovada este dată în Elementele lui Euclid (IX, 36). Abia în secolul al XVIII-lea , Euler a demonstrat că nu există alte numere chiar perfecte, iar problema infinitității numărului de numere perfecte nu a fost încă rezolvată. Pitagoreii au găsit și un număr infinit de soluții întregi ale ecuației , așa-numitele triple pitagoreene, și au derivat o formulă generală pentru ele [9] .

Teoria divizibilității a apărut în anul 399 î.Hr. e. și aparține, se pare, lui Theaetetus . Euclid i-a dedicat cartea VII a Începuturilor și o parte din cartea a IX-a. Teoria se bazează pe algoritmul Euclid pentru găsirea celui mai mare divizor comun a două numere. Consecința algoritmului este posibilitatea descompunerii oricărui număr în factori primi, precum și unicitatea unei astfel de descompunere. Legea unicității descompunerii în factori primi este baza aritmeticii întregi [10] .

Cărțile VII, VIII și IX, incluse în Elementele lui Euclid, sunt dedicate numerelor prime și divizibilității . În special, descrie un algoritm pentru găsirea celui mai mare divizor comun a două numere (algoritmul lui Euclid) și demonstrează infinitatea mulțimii de numere prime [11] .

Diophantus din Alexandria , spre deosebire de matematicienii anteriori ai Greciei antice , a rezolvat probleme în algebra clasică descriindu-le geometric. În lucrarea sa „Aritmetică” el enumeră problemele de găsire a soluțiilor întregi pentru sistemele de ecuații polinomiale (numite acum Diofantine ) [11] . Lucrarea lui Diofant privind soluția ecuațiilor nedefinite în numere raționale se află la intersecția dintre teoria numerelor și geometria algebrică. El investighează o ecuație de ordinul doi în două variabile , care este ecuația unei secțiuni conice . Metoda prin care Diophantus găsește punctele raționale ale unei curbe, dacă se cunoaște cel puțin unul dintre acestea, stabilește că o curbă de ordinul doi fie conține un set infinit de puncte ale căror coordonate sunt exprimate ca funcții raționale ale unui parametru, fie nu le conține. deloc. Pentru a studia ecuațiile de ordinul al treilea și al patrulea, se folosesc metode geometrice mai complexe (construcția unei tangente la un punct rațional, sau o dreaptă prin două puncte raționale pentru a găsi următoarea intersecție) [12] .

Teoria numerelor în Evul Mediu

Teorema chineză a restului a fost inclusă ca exercițiu în tratatul lui Sun Tzu Sun Tzu Suan Jing ( exercițiul chinezesc 孙子算经, pinyin sūnzǐ suànjīng ) [11] . Unul dintre pașii importanți a fost omis în soluția sa, dovada completă a fost obținută pentru prima dată de Aryabhata în secolul al VI-lea e.n. e. .

Matematicienii indieni Aryabhata, Brahmagupta și Bhaskara au rezolvat ecuațiile diofantine de formă în numere întregi. În plus, au rezolvat ecuații de forma [11] în numere întregi , ceea ce a fost cea mai mare realizare a matematicienilor indieni în domeniul teoriei numerelor. Ulterior, această ecuație și cazul său particular au atras atenția lui Fermat, Euler și Lagrange. Metoda propusă de Lagrange pentru găsirea soluției a fost apropiată de cea indiană [13] .

Dezvoltarea ulterioară a teoriei numerelor

Teoria numerelor a fost dezvoltată în continuare în lucrările lui Fermat , legate de soluția ecuațiilor diofante și de divizibilitatea numerelor întregi. În special, Fermat a formulat o teoremă care pentru orice număr prim și întreg , este divizibil cu , numită teorema mică a lui Fermat și, în plus, a formulat o teoremă privind imposibilitatea de rezolvare a ecuației diofantine în numere întregi, sau teorema mare a lui Fermat [14] . La începutul secolului al XVIII-lea, Euler [15] s-a preocupat de generalizarea teoremei mici și de demonstrarea marii teoreme pentru cazuri particulare . De asemenea, a început să folosească puternicul aparat de analiză matematică pentru a rezolva probleme din teoria numerelor, formulând metoda de generare a funcțiilor, identitatea Euler , precum și probleme legate de adunarea numerelor prime [4] .

În secolul al XIX-lea , mulți oameni de știință proeminenți au lucrat la teoria numerelor. Gauss a creat teoria comparațiilor, cu ajutorul căreia a demonstrat o serie de teoreme asupra numerelor prime, a studiat proprietățile reziduurilor pătratice și ale nereziduurilor, inclusiv legea reciprocității pătratice [15] , în căutarea unei dovezi despre care Gauss considerate serii finite de un anumit tip, generalizate ulterior la sume trigonometrice. Dezvoltarea lucrării lui Euler, Gauss și Dirichlet au creat teoria formelor pătratice. În plus, au formulat o serie de probleme cu privire la numărul de puncte întregi în domenii pe un plan, ale căror soluții particulare au făcut posibilă demonstrarea unei teoreme generale asupra infinitității numărului de puncte simple în progresii de forma , unde și sunt coprime [15] . Studiul suplimentar al distribuției numerelor prime a fost efectuat de Cebyshev [16] , care a arătat o teoremă mai precisă decât teorema lui Euclid, legea tinderii la infinit a numărului de numere prime, a demonstrat ipoteza lui Bertrand despre existența unui număr prim în intervalul , și a pus și problema estimării de sus a celei mai mici valori a diferenței dintre numerele prime învecinate (extinderea întrebării despre gemenii primi) [4] .

La începutul secolului al XX-lea , A. N. Korkin , E. I. Zolotarev și A. A. Markov au continuat să lucreze la teoria formelor pătratice. Korkin și Zolotarev au demonstrat teorema asupra variabilelor unei forme pătratice cuaternare pozitive, iar Markov a studiat minimele formelor pătratice binare ale unui determinant pozitiv. Formulele formulate de Dirichlet pentru puncte întregi din zonele planului au fost dezvoltate în lucrările lui G. F. Voronoi, care în 1903 a determinat ordinea termenului rămas. În 1906, metoda a fost transferată cu succes la problema Gauss asupra numărului de puncte întregi dintr-un cerc de W. Sierpinski [4] .

În 1909, D. Hilbert a rezolvat problema aditivilor lui Waring [4] .

E. Kummer, încercând să demonstreze teorema lui Fermat, a lucrat cu un câmp numeric algebric, pentru mulțimea numerelor cărora le-a aplicat toate cele patru operații algebrice și a construit astfel aritmetica numerelor întregi a unui câmp numeric algebric generat de , a introdus conceptul de ideal factori și a dat impuls creării teoriei numerelor algebrice . În 1844, J. Liouville a introdus conceptele de numere algebrice și transcendentale , formulând astfel în termeni matematici remarca lui Euler că rădăcinile pătrate și logaritmii numerelor întregi au diferențe fundamentale. Liouville a arătat că numerele algebrice sunt slab aproximate prin fracții raționale. La sfârșitul secolului al XIX-lea, matematicieni precum Charles Hermite , care în 1873 a dovedit transcendența unui număr , F. Lindemann , care în 1882 a dovedit transcendența unui număr, au lucrat la demonstrarea transcendenței unor numere specifice . O altă direcție a fost studiul gradului de aproximare a numerelor algebrice cu cele raționale sau algebrice. În ea a lucrat Axel Thue , care în 1909 a demonstrat teorema numită după el [4] .

O altă direcție de lucru a fost definiția lui Riemann a funcției zeta și dovada că aceasta poate fi extinsă analitic la întregul plan al unei variabile complexe și are o serie de alte proprietăți. Riemann a presupus, de asemenea, zerourile funcției zeta. Lucrând la funcțiile zeta, Ch. la Vallée Poussin și Jacques Hadamard au formulat în 1896 o lege asimptotică pentru distribuția numerelor prime. Metoda folosită de aceștia pentru obținerea formulelor asimptotice, sau metoda integrării complexe, a devenit larg utilizată ulterior [4] .

În prima jumătate a secolului al XX-lea, Herman Weil a lucrat la problemele teoriei numerelor, care a formulat relația pentru distribuția uniformă a părților fracționale ale funcțiilor întregi, G. Hardy și J. Littlewood, care au formulat metoda circulară pentru rezolvarea aditivilor. probleme, A. O. Gelfond și T. Gneider, care au rezolvat a 7-a problemă a lui Hilbert , K. Siegel , care a demonstrat o serie de teoreme privind transcendența valorilor funcției, B. N. Delone și D. K. Faddeev , care au studiat ecuația diofantină , A. Selberg , care a lucrat în teoria funcţiei zeta Riemann [4] .

O mare contribuție la dezvoltarea teoriei numerelor a avut-o I. M. Vinogradov, care a demonstrat inegalitatea cu privire la numărul de reziduuri pătratice și nereziduuri pe un segment, a definit metoda sumelor trigonometrice, ceea ce a făcut posibilă simplificarea soluției Problemă Waring, precum și rezolvarea unui număr de probleme privind distribuția părților fracționale ale unei funcții, determinarea punctelor întregi în zona în plan și în spațiu, ordinea de creștere a funcției zeta în banda critică. În problemele legate de sumele trigonometrice, este important să se estimeze modulul lor cât mai precis posibil. Vinogradov a propus două metode pentru o astfel de evaluare. În plus, împreună cu studenții săi, a dezvoltat o serie de metode care permit rezolvarea problemelor derivate din ipoteza Riemann [4] .

Numeroase lucrări despre teoria numerelor datează din a doua jumătate a secolului al XX-lea. Yu. V. Linnik a dezvoltat o metodă de dispersie, care a făcut posibilă derivarea formulelor asimptotice pentru problema Hardy-Littlewood și problema divizorilor primi Titchmarsh [4] .

În același timp, există un număr mare de probleme deschise în teoria numerelor .

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 Teoria numerelor , pagina 1  . Enciclopaedia Britannica . Consultat la 6 iunie 2012. Arhivat din original pe 22 iunie 2012.
  2. ↑ 1 2 3 Matematica, conținutul, metodele și sensul ei (în trei volume). - Academia de Științe a URSS, 1956. - T. 2. - S. 226-227. — 397 p.
  3. ↑ 1 2 Nesterenko Yu. V., 2008 , p. 3-6.
  4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Teoria numerelor // Marea Enciclopedie Sovietică  : [în 30 de volume]  / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M .  : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
  5. ↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 9.
  6. ↑ Aritmetică // Marea Enciclopedie Sovietică  : [în 30 de volume]  / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M .  : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
  7. ↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 37-39.
  8. ↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. cincizeci.
  9. ↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 68-69.
  10. ↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 74-76.
  11. ↑ 1 2 3 4 Teoria numerelor , pagina 2  . Enciclopaedia Britannica. Consultat la 6 iunie 2012. Arhivat din original pe 22 iunie 2012.
  12. ↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 146-148.
  13. ↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 194-195.
  14. ↑ Teoria numerelor , pagina 3  . Enciclopaedia Britannica. Consultat la 6 iunie 2012. Arhivat din original pe 22 iunie 2012.
  15. ↑ 1 2 3 Teoria numerelor , pagina 4  . Enciclopaedia Britannica. Consultat la 6 iunie 2012. Arhivat din original pe 22 iunie 2012.
  16. ↑ Teoria numerelor , pagina 5  . Enciclopaedia Britannica. Consultat la 6 iunie 2012. Arhivat din original pe 22 iunie 2012.

Literatură

Link -uri

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii
 Ramuri ale matematicii
Portalul „Știință”
Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii
Teoria numerelor ( aritmetică )
  • Portalul „Matematică”
  • Categoria „Matematică”