Lema pe segmente imbricate

Lema segmentelor imbricate , sau principiul segmentelor imbricate al lui Cauchy-Cantor [1] , sau principiul continuității lui Cantor [2] , este o afirmație fundamentală în analiza matematică asociată cu caracterul complet al câmpului numerelor reale .

Formulare

Pentru orice sistem de segmente imbricate

[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \ldots

există cel puţin un punct care aparţine tuturor segmentelor sistemului dat. $c$

Dacă, în plus, lungimea segmentelor sistemului tinde spre zero:

\lim _{{n\to \infty }}(b_{n}-a_{n})=0

atunci este singurul punct comun al tuturor segmentelor sistemului dat. $c$

Notă

Segmentele din formularea teoremei nu pot fi înlocuite cu intervale deschise. De exemplu,

\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n))\right)=\varnothing

Dovada

1) Existența unui punct comun. Setul de capete din stânga ale segmentelor se află pe linia reală din stânga setului de capete din dreapta ale segmentelor , deoarece $\{un}\}$ $\{b_{m}\}$

\forall n,m\;a_{n}\leqslant b_{m}

În virtutea axiomei continuității , există un punct care separă aceste două mulțimi, i.e. $c$

\forall n,m\;a_{n}\leqslant c\leqslant b_{m}

în special

\forall n\;a_{n}\leqslant c\leqslant b_{n}

Ultima inegalitate înseamnă că este un punct comun al tuturor segmentelor sistemului dat. $c$

2) Unicitatea unui punct comun. Fie ca lungimea segmentelor sistemului tinde spre zero. Să arătăm că există un singur punct care aparține tuturor segmentelor sistemului. Să presupunem contrariul: să fie două puncte diferite și , aparținând tuturor segmentelor sistemului: $c$ $c'$

\forall n\;\;c,c'\in [a_{n},b_{n}],\quad c\neq c'

Atunci următoarele inegalități sunt valabile pentru toate numerele: $n$

|cc'|\leqslant b_{n}-a_{n}

În virtutea condiției că lungimile segmentelor tind spre zero pentru oricare pentru toate numerele , începând de la unul anume, inegalitatea $\varepsilon >0$ $n$

b_{n}-a_{n}<\varepsilon

Luând în considerare această inegalitate , obținem $\varepsilon ={\frac {1}{2}}|cc'|>0$

|cc'|<{\frac {1}{2}}|cc'|

Contradicţie. Lema este complet dovedită.

Lema de interval imbricat și completitudinea (continuitatea) câmpului numerelor reale

Lema de interval imbricat este strâns legată de continuitatea (completitudinea) câmpului numerelor reale . Astfel, demonstrația de mai sus a lemei s-a bazat în esență pe axioma continuității . Se poate arăta că, dacă câmpul ordonat nu este continuu, atunci principiul segmentelor imbricate poate să nu fie valabil. De exemplu, dacă luăm câmpul numerelor raționale , care nu este continuu, și luăm în considerare o succesiune de segmente imbricate

[1;2],[1{,}4;1{,}5],[1{,}41;1{,}42],[1{,}414;1{,}415],\ldots

ale căror capete sunt aproximări zecimale ale unui număr irațional cu o deficiență și, respectiv, un exces, cu o precizie de , rezultă că acest sistem de segmente imbricate nu are un punct comun. ${\sqrt {2}}$ $1/10^{n},\;n=0,1,2,\ldots$

Mai mult, se poate demonstra că principiul intervalului imbricat este una dintre formulările echivalente ale continuității câmpului (și de aceea este numit principiul continuității lui Cantor ). Mai precis, următoarea propoziție este valabilă pentru [2] . Pentru orice câmp arhimedian ordonat , principiul segmentelor imbricate implică continuitatea acestui câmp.

Note

↑ Zorich V. A. Analiză matematică. Partea I. - Ed. a 4-a, rev. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 81.
↑ 1 2 Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M . : „Drofa”, 2003. - T. 1. - S. 84.

Literatură

Kamynin L. I. Analiză matematică. T. 1, 2. - 2001.
Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M . : „Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .