Spațiu liniar (geometrie)

Spațiul liniar este structura de bază a geometriei incidenței . Un spațiu liniar este format dintr-un set de elemente numite puncte și un set de elemente numite linii . Fiecare linie este un subset diferit de puncte. Se spune că punctele unei linii sunt incidente cu linia. Orice două linii pot avea cel mult un punct comun. Intuitiv, această regulă poate fi demonstrată ca două drepte în planul euclidian care nu se intersectează niciodată în mai mult de un punct.

Spațiile liniare (finite) pot fi gândite ca generalizări ale planurilor proiective și afine și, mai larg, ca proiecte de 2 blocuri care necesită ca fiecare bloc să conțină același număr de puncte, iar caracteristica structurală esențială este aceea că două puncte sunt incidente exact la o linie.

Termenul de spațiu liniar a fost inventat de Libois în 1964, deși multe dintre rezultatele privind spațiile liniare sunt mult mai vechi.

Definiție

Fie L = ( P , G , I ) o structură de incidență pentru care elementele lui P se numesc puncte și elementele lui G sunt numite drepte. L este un spațiu liniar dacă sunt valabile următoarele trei axiome:

• (L1) două puncte sunt incidente cu exact o linie.
• (L2) orice linie este incidentă la cel puțin două puncte.
• (L3) L conține cel puțin două linii.

Unii autori omit (L3) atunci când definesc spații liniare. În acest caz, spațiile liniare care respectă (L3) sunt considerate netriviale , iar cele care nu sunt banale .

Exemple

Planul euclidian regulat cu punctele și liniile sale formează un spațiu liniar, în plus, toate spațiile afine și proiective sunt spații liniare.

Tabelul de mai jos arată toate spațiile posibile de cinci puncte non-triviale. Deoarece oricare două puncte sunt întotdeauna incidente cu aceeași linie, liniile care sunt incidente doar cu două puncte nu sunt afișate. Cazul banal este o linie dreaptă prin cinci puncte.

În primul exemplu, zece linii drepte care leagă zece perechi de puncte nu sunt desenate. A doua ilustrație nu arată cele șapte linii drepte care leagă cele șapte perechi de puncte.

Un spațiu liniar de n puncte care conține o linie incidentă cu n  − 1 puncte se numește aproape snop . (Vezi „ pachet ”)

Vezi și

• proiectarea blocurilor
• avion Fano
• geometrie moleculară
• Spațiu parțial liniar

Note

Literatură

• Ernest E. Shult. Puncte și linii. - Springer, 2011. - (Universitex). — ISBN 978-3-642-15626-7 . - doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 .

• Albrecht Beutelspacher. Einführung in die endliche Geometrie II  (germană) . - Bibliographisches Institut, 1983. - S. 159. - ISBN 3-411-01648-5 .
• JH van Lint , R. M. Wilson . Un curs de combinatorică . - Cambridge University Press, 1992. - P.  188 . - ISBN 0-521-42260-4 .
• LM Batten, Albrecht Beutelspacher. Teoria spațiilor liniare finite . - Cambridge: Cambridge University Press, 1992.