Proiectarea blocurilor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 11 septembrie 2022; verificările necesită 2 modificări .

O diagramă bloc este o mulțime, împreună cu o familie de submulțimi (repetarea submulților este permisă în unele cazuri), ai cărei membri satisfac unele proprietăți care sunt considerate utile pentru o anumită aplicație. Aceste aplicații provin din diferite domenii, inclusiv proiectarea experimentelor , geometria finită , testarea software-ului , criptografia și geometria algebrică . Au fost luate în considerare multe opțiuni, dar cele mai intens studiate sunt proiectele de blocuri incomplete echilibrate (Balanced Incomplete Block Designs, BIBD , 2-schemes), care au fost asociate istoric cu probleme statistice înplanificarea unui experiment [1] [2] .

O diagramă bloc în care toate blocurile au aceeași dimensiune se numește omogenă . Circuitele discutate în acest articol sunt toate la fel. Modelele echilibrate în perechi (PBD) sunt exemple de diagrame bloc care nu sunt neapărat uniforme.

Definiția BIBD (sau 2-schemă)

Având în vedere o mulțime finită X (de elemente, care se numesc puncte ) și numere întregi k , r , λ ≥ 1, definim o 2-schemă B ca o familie de k - submulțimi de elemente ale lui X , numite blocuri , astfel încât orice element x a lui X este conținută în blocuri r și orice pereche de puncte distincte x și y din X este conținută în blocuri λ .

Cuvântul „familie” din definiția de mai sus poate fi înlocuit cu cuvântul „set” dacă repetarea blocurilor nu este permisă. Circuitele în care nu este permisă repetarea blocurilor se numesc simple .

Aici v (numărul de elemente ale lui X , numite puncte), b (numărul de blocuri), k , r și λ sunt parametri de circuit . (Pentru a evita exemplele degenerate, se presupune că v > k , astfel încât niciun bloc nu conține toate elementele mulțimii. Prin urmare, cuvântul „incomplet” este prezent în numele circuitelor.) În tabel:

v	puncte, număr de elemente X
b	numărul de blocuri
r	numărul de blocuri care conțin punctul dat
k	numărul de puncte dintr-un bloc
λ	număr de blocuri care conțin oricare 2 (sau, mai general, t ) puncte

Un circuit se numește un ( v , k , λ )-circuit sau ( v , b , r , k , λ )-circuit. Parametrii nu sunt independenți - v , k și λ determină b și r și nu sunt permise toate combinațiile de v , k și λ . Două egalități de bază care conțin acești parametri

bk=vr,

obţinut prin numărarea perechilor ( B , p ) unde B este un bloc şi p este un punct din acel bloc

\lambda (v-1)=r(k-1),

se obține prin numărarea tripleților ( p , q , B ), unde p și q sunt puncte distincte, iar B este un bloc care conține ambele puncte și împărțind numărul de triplete la v .

Aceste condiții nu sunt suficiente, deoarece, de exemplu, schema (43,7,1) nu există [3]

Ordinea unei scheme cu 2 este definită ca n = r − λ . Complementul unei scheme 2 se obține prin înlocuirea fiecărui bloc cu complementul său la mulțimea punctelor X . Complementul este, de asemenea, o schemă în 2 și are parametri v ′ = v , b ′ = b , r ′ = b − r , k ′ = v − k , λ ′ = λ + b − 2 r . Schema 2 și complementul său au aceeași ordine.

Teorema fundamentală, inegalitatea lui Fisher , numită după statisticianul Ronald Fisher , afirmă că b ≥ v în orice 2-schemă.

În ceea ce privește teoria grafurilor, definiția unei 2-scheme poate fi reformulată astfel: o diagramă bloc este o acoperire cu multiplicitate a unui graf complet pe vârfuri de către grafuri complete pe vârfuri. Diagramele de flux pentru și sunt banale, așa că de obicei se presupune că . $\lambda$ $v$ $k$ $k=0,1$ $v$ $2\leq k\leq n-1$

Exemple

Singurul (6,3,2)-circuit are 10 blocuri ( b = 10) și fiecare element se repetă de 5 ori ( r = 5) [4] . Dacă sunt folosite simbolurile 0 - 5, blocurile conțin următoarele triplete:

012 013 024 035 045 125 134 145 234 235.

Una dintre cele patru scheme neizomorfe (8,4,3) are 14 blocuri, în care elementele sunt repetate de 7 ori. Folosind simbolurile 0 - 7, blocurile sunt următoarele patru: [4]

0123 0124 0156 0257 0345 0367 0467 1267 1346 1357 1457 2347 2356 2456.

Singurul (7,3,1)-circuit are 7 blocuri, în care fiecare element se repetă de 3 ori. Dacă sunt folosite simbolurile 0 - 6, următoarele triplete servesc drept blocuri: [4]

013 026 045 124 156 235 346. Dacă elementele sunt înțelese ca puncte pe planul Fano , atunci aceste blocuri sunt linii drepte.

BIBD -uri simetrice

Cazul de egalitate în inegalitatea lui Fisher, adică un 2-circuit cu același număr de puncte în blocuri, se numește circuit simetric [5] . Circuitele simetrice au cel mai mic număr de blocuri dintre toate cele 2 circuite cu același număr de puncte.

Într-un circuit simetric, r = k este satisfăcut , la fel ca b = v , și deși acest lucru nu este adevărat pentru 2-circuite arbitrare, în circuitele simetrice, oricare două blocuri diferite au λ puncte în comun [6] . Teorema lui Reiser dă concluzia opusă - dacă X este o mulțime de v elemente și B este o mulțime de v k -submulțimi de elemente ("blocuri"), astfel încât oricare două blocuri diferite au exact λ puncte în comun , atunci ( X , B ) este o diagramă bloc simetrică [7] .

Parametrii circuitului simetric satisfac egalitatea

\lambda (v-1)=k(k-1).

Egalitatea impune o constrângere puternică asupra v , astfel încât numărul de puncte este departe de a fi arbitrar. Teorema Brook-Reiser-Chowl dă o condiție necesară, dar nu suficientă, pentru existența circuitelor simetrice în ceea ce privește parametrii lor.

Următoarele sunt exemple importante de 2 circuite simetrice:

Avioane proiective

Planurile proiective finite sunt 2-scheme simetrice cu λ = 1 și ordinul n > 1. Pentru aceste scheme, egalitatea schemei simetrice devine:

v-1=k(k-1).\,

Deoarece k = r , putem scrie ordinea planului proiectiv ca n = k − 1 și, din egalitatea de mai sus, obținem v = ( n + 1) n + 1 = n 2 + n + 1 puncte în proiectiv. plan de ordin n .

Deoarece planul proiectiv este un circuit simetric, avem b = v , ceea ce înseamnă că și b = n 2 + n + 1. Numărul b este numărul de drepte din planul proiectiv. Nu pot exista drepte repetate deoarece λ = 1, deci planul proiectiv este o schemă simplă de 2 în care numărul de linii și numărul de puncte sunt întotdeauna egale. Pentru un plan proiectiv , k este numărul de puncte de pe linie și este egal cu n + 1. În mod similar, r = n + 1 este numărul de drepte cu care incide punctul dat.

Pentru n = 2 avem un plan proiectiv de ordinul 2, numit și planul Fano , cu v = 4 + 2 + 1 = 7 puncte și 7 drepte. În planul Fano, orice dreaptă are exact n + 1 = 3 puncte și fiecare punct aparține lui n + 1 = 3 linii.

Se știe că planuri proiective există pentru toate ordinele egale cu numerele prime și cu puterile lor. Ele formează singura familie infinită cunoscută de diagrame bloc simetrice [8] .

Geometrie biplană

Geometria biplană este o schemă simetrică 2 cu λ = 2. Adică, orice set de două puncte este conținut în două blocuri („linii”), iar oricare două drepte se intersectează în două puncte [8] . Geometriile biplanare sunt similare cu planurile proiective, cu excepția faptului că două puncte nu definesc o linie (și două linii nu definesc un punct). În geometria biplană, două puncte definesc două linii (în mod corespunzător, două linii definesc două puncte). O geometrie biplană de ordinul n este un circuit ale cărui blocuri au k = n + 2 puncte.Numărul total de puncte este v = 1 + ( n + 2)( n + 1)/2 (deoarece r = k ).

18 exemple cunoscute [9] sunt enumerate mai jos.

(Schema trivială) Geometria biplană de ordinul 0 are 2 puncte (și linii de dimensiune 2; schema 2-(2,2,2)); sunt două puncte și două blocuri care conțin ambele puncte. Geometric, este un duo .
Geometria biplană de ordinul 1 are 4 puncte (și linii de mărime 3; schema 2-(4,3,2)); acesta este circuitul complet cu v = 4 și k = 3. Geometric, punctele sunt vârfurile, iar blocurile sunt fețele tetraedrului.
Geometria biplană de ordinul 2 este complementul planului Fano - conține schema de 7 puncte (și linii de dimensiune 4; 2-(7,4,2)), în care liniile sunt date ca complemente ale liniilor (3 puncte) a avionului Fano [10] .
Geometria biplană de ordinul 3 are schema de 11 puncte (și linii de dimensiune 5; 2-(11,5,2)), care este cunoscută sub numele de geometrie biplană Paley după Raymond Paley ; Circuitul este asociat cu un grafic Paley de ordinul 11, care este construit folosind un câmp de 11 elemente și este un circuit 2-Hadamard asociat cu o matrice Hadamard de dimensiunea 12, vezi construcția Paley I .

Din punct de vedere algebric, aceasta corespunde unei înglobări speciale a grupului liniar proiectiv special PSL (2,5) în PSL (2,11) – vezi grup liniar proiectiv: acțiune pe p puncte [11] pentru o descriere detaliată .

Există trei geometrii biplane de ordinul 4 (16 puncte, linii de dimensiune 6; scheme 2-(16,6,2)). Aceste trei scheme sunt, de asemenea, scheme ale lui Menon .
Există patru geometrii biplane de ordinul 7 (37 de puncte, linii de dimensiune 9; scheme 2-(37,9,2)) [12]
Există cinci geometrii biplane de ordinul 9 (56 de puncte, linii de dimensiune 11; scheme 2-(56,11,2)) [13]
Sunt cunoscute două geometrii biplane de ordinul 11 (79 de puncte, linii de dimensiune 13; scheme 2-(79,13,2)) [14] .

2-Scheme Hadamard

O matrice m Hadamard este o matrice m × m H cu elemente egale cu ±1 astfel încât HH ⊤ = m E m , unde H ⊤ este egal cu matricea transpusă H și E m este matricea de identitate m × m . Matricea Hadamard poate fi scrisă în formă standard (adică redusă la matricea Hadamard echivalentă) în care primul rând și prima coloană constau din +1. Dacă dimensiunea m > 2, m trebuie să fie divizibil cu 4.

Având în vedere o matrice Hadamard de dimensiunea 4 a în formă standard, ștergeți primul rând și prima coloană și înlocuiți toate elementele lui -1 cu 0. Rezultatul este o matrice M formată din 0 și 1, care este o matrice de incidență simetrică față de 2- (4 a − 1 , 2 a − 1, a − 1) scheme. Această schemă se numește schema Hadamard 2 [15] . Diagrama conține blocuri, fiecare dintre ele conține puncte și puncte care sunt conținute în blocuri. Fiecare pereche de puncte este conținută exact în blocuri. $4a-1$ $2a-1$ $4a-1$ $2a-1$ $a-1$

Construcția este reversibilă, iar matricea de incidență a unui 2-circuit simetric cu acești parametri poate fi utilizată pentru a forma o matrice Hadamard de dimensiunea 4a .

2-scheme rezolvabile

O schemă cu 2 decidabile este un BIBD ale cărui blocuri pot fi împărțite în seturi (numite clase paralele ), fiecare dintre acestea formând o secțiune de divizare a punctelor a BIBD. Setul de clase paralele se numește rezoluție schema .

Dacă un circuit rezolvabil 2-( v , k ,λ) are c clase paralele, atunci b ≥ v + c − 1 [16] .

Prin urmare, un circuit simetric nu poate avea o rezoluție netrivială (mai mult de o clasă paralelă) [17] .

Schemele 2 arhetipale decidabile sunt planuri proiective finite . Soluția la celebra problemă Kirkman despre școlari este rezolvarea schemei 2-(15,3,1) [18] .

Generalizări: t -scheme

Având în vedere orice număr pozitiv t , schema t B este o clasă de k submulțimi de elemente ale lui X , numite blocuri , astfel încât orice punct x din X apare în exact r blocuri și orice submulțime de elemente t din T este conținută exact în blocuri λ . Numerele v (numărul de elemente din X ), b (numărul de blocuri), k , r , λ și t servesc ca parametri de circuit . Schema poate fi numită t -( v , k ,λ)-schemă. Din nou, aceste patru numere determină b și r , iar cele patru numere în sine nu pot fi alese în mod arbitrar. Egalități care le conectează

\lambda _{i}=\lambda \left.{\binom {vi}{ti}}\right/{\binom {ki}{ti}}{\text{ for }}i=0,1 ,\ldots ,t,

unde λ i este numărul de blocuri care conțin orice set de puncte i -element.

Rețineți că . $b=\lambda _{0}=\lambda {v \alegeți t}/{k \alegeți t)$

Teoremă : [19] Orice t -( v , k ,λ)-schemă este, de asemenea, o s -( v , k ,λ s )-schemă pentru orice număr s cu condiția 1 ≤ s ≤ t . (Rețineți că „valoarea lambda” variază ca mai sus și depinde de s .)

Un corolar al acestei teoreme este că orice schemă t cu t ≥ 2 este, de asemenea, o schemă 2.

Circuitul t -( v , k ,1) se numește sistemul Steiner .

În sine, termenul diagramă bloc implică de obicei o diagramă cu două.

Derivate și scheme t extensibile

Fie D = ( X , B ) un circuit t-( v , k , λ ) și fie p un punct al lui X . Circuitul derivat D p are mulţimea punctelor X − { p }, iar ca mulţime de blocuri toate blocurile D care conţin p şi în care punctul p este îndepărtat. Acest circuit este un circuit ( t − 1)-( v − 1, k − 1, λ ). Rețineți că circuitele generate pentru diferite puncte pot să nu fie izomorfe. O schemă E se numește extensie a unei scheme D dacă E are un punct p astfel încât E p este izomorf cu D . Numim D extensibil dacă schema are o extensie.

Teorema : [20] Dacă schema t -( v , k , λ ) are o extensie, atunci k + 1 împarte b ( v + 1).

Planurile proiective extensibile (scheme simetrice 2-( n 2 + n + 1, n + 1, 1)) sunt doar cele ale căror ordine sunt 2 și 4 [21] .

Orice schemă 2-Hadamard este extensibilă (până la o schemă 3-Hadamard ) [22] .

Teorema : [23] Dacă D , un circuit simetric 2-( v , k ,λ), este extensibil, unul dintre:

D este o schemă Hadamard 2,
v = (λ + 2)(λ 2 + 4λ + 2), k = λ 2 + 3λ + 1,
v = 495, k = 39, λ = 3.

Rețineți că planul proiectiv de ordinul doi este o schemă Hadamard 2. Un plan proiectiv de ordinul patru are parametri care se încadrează în cazul 2. Alte 2-scheme simetrice cunoscute cu parametrii din cazul 2 sunt geometrii biplanare de ordinul 9, dar niciuna dintre ele nu este extensibilă. Schemele simetrice 2 cu parametrii cazului 3 sunt necunoscute [24] .

Plan circular

O schemă cu parametrii de extensie a planului afini , adică o schemă 3-( n 2 + 1, n + 1, 1) se numește plan circular finit sau plan Möbius de ordinul n .

Este posibil să se ofere o descriere geometrică a unor planuri circulare, mai degrabă a tuturor planurilor circulare cunoscute. Ovoidul din PG(3, q ) este o mulțime de q 2 + 1 puncte, dintre care trei nu sunt coliniare. Se poate arăta că orice plan (care este un hiperplan în dimensiunea 3) din PG(3, q ) intersectează ovoidul O fie într-un punct, fie în q + 1 puncte. Intersecțiile unui O ovoid de mărimea q + 1 cu un plan sunt blocuri de plan circular de ordinul q . Orice plan circular astfel obtinut se numeste ovoid . Toate planurile circulare cunoscute sunt ovoide.

Un exemplu de ovoid este cuadricul eliptic , mulțimea de zerouri a unei forme pătratice

x 1 x 2 + f ( x 3 , x 4 ),

unde f este o formă pătratică ireductibilă în două variabile peste GF( q ). [ f ( x , y )= x 2 + xy + y 2 , de exemplu].

Dacă q este o putere impară de 2, este cunoscut un alt tip de ovoid, ovoidul Suzuki-Tits .

Teorema . Fie q un număr întreg pozitiv de cel puțin 2. (a) Dacă q este impar, orice ovoid este echivalent proiectiv cu o cvadrică eliptică în geometria proiectivă PG(3, q ), astfel încât q este o putere a unui prim și există un plan circular unic asemănător unui ou de ordinul q ( (b) dacă q este par, atunci q este o putere de 2 și orice plan circular de ordinul q este asemănător unui ou (poate că există niște ovoide necunoscute).

Circuite parțial echilibrate (PBIBD)

Schema de relații de clasă n constă dintr-o mulțime X de mărimea v , împreună cu o partiție S a mulțimii X × X în n + 1 relații binare R 0 , R 1 , ..., R n . Se spune că o pereche de elemente este în relația R i (elementele i - combinate ). Fiecare element din X are n i i -a combinații. In afara de asta:

$R_{0}=\{(x,x):x\in X\}$ și se numește relația de identitate .
Dacă definim , atunci din faptul că R aparține partiției S , rezultă că R* aparține partiției S $R^{*}:=\{(x,y)|(y,x)\in R\}$
Dacă , numărul de elemente precum și este constant (egal cu ) și acest număr depinde de i , j , k , dar nu de alegerea lui x și y . $(x,y)\in R_{k)$ $z\in X$ $(x,z)\in R_{i)$ $(z,y)\in R_{j)$ $p_{ij}^{k)$

Schema de combinare este comutativă dacă pentru toate i , j și k . Majoritatea autorilor își asumă această proprietate. $p_{ij}^{k}=p_{ji}^{k)$

O diagramă bloc incompletă parțial echilibrată cu n clase de combinații (PBIBD( n )) este o diagramă bloc bazată pe mulțimea X cu v elemente, având b blocuri de k elemente fiecare, în care fiecare element apare în r blocuri și pentru care există este o schemă de combinație cu n clase definite pe X , prin care dacă elementele x și y i -combină pentru 1 ≤ i ≤ n , atunci ele sunt conținute împreună în exact blocuri λ i .

PBIBD( n ) definește o schemă de combinare, dar invers nu este adevărat [25] .

Exemplu

Fie A (3) scheme de combinații cu trei clase pe mulțimea X = {1,2,3,4,5,6}. Valoarea unui element de tabel ( i , j ) este egală cu s dacă elementele i și j sunt în relația R s .

	unu	2	3	patru	5	6
unu	0	unu	unu	2	3	3
2	unu	0	unu	3	2	3
3	unu	unu	0	3	3	2
patru	2	3	3	0	unu	unu
5	3	2	3	unu	0	unu
6	3	3	2	unu	unu	0

Blocuri PBIBD(3) bazate pe A (3):

124	134	235	456
125	136	236	456

Parametrii acestui PBIBD(3) sunt: v = 6, b = 8, k = 3, r = 4 și λ 1 = λ 2 = 2 și λ 3 = 1. De asemenea, pentru schema de relații, avem n 0 = n 2 = 1 și n 1 = n 3 = 2. [26]

Proprietăți

Parametrii PBIBD( m ) satisfac egalitățile: [27]

$vr=bk$
$\sum _{i=1}^{m}n_{i}=v-1$
$\sum _{i=1}^{m}n_{i}\lambda _{i}=r(k-1)$
$\sum _{u=0}^{m}p_{ju}^{h}=n_{j)$
$n_{i}p_{jh}^{i}=n_{j}p_{ih}^{j)$

PBIBD(1) este BIBD, PBIBD(2) unde λ 1 = λ 2 este de asemenea BIBD [28] .

PBIBD cu două clase combinate

Schemele PBIBD(2) au fost cele mai studiate pentru simplitatea și utilitatea lor [29] . Ele se împart în șase tipuri [30] , bazate pe clasificarea lui Bose și Shimamoto a schemelor PBIBD(2) cunoscute atunci : [31] [32]

împărțit în grupuri
triunghiular
tastați „pătrat latin”
ciclic
geometrie parțială
odihnă

Aplicații

Subiectul matematic al diagramelor de flux a apărut ca bază statistică pentru proiectarea experimentului . Schemele au fost deosebit de utile în aplicațiile tehnicii de analiză a varianței (ANOVA) . Această zonă rămâne o parte esențială a utilizării diagramelor bloc.

În timp ce aplicațiile biologice au fost sursa, schemele sunt utilizate în multe alte domenii în care se fac comparații sistematice, cum ar fi testarea software-ului .

Matricea de incidență a diagramei de flux oferă o sursă naturală de coduri bloc interesante care sunt utilizate ca coduri de corectare a erorilor . Rândurile matricei de incidență sunt, de asemenea, folosite ca simboluri în modulația impuls-fază [33] .

Aplicații statistice

Să presupunem că cercetătorii în cancerul de piele doresc să testeze trei creme de protecție solară diferite. Ei aplică două creme diferite pe părțile superioare ale mâinilor subiecților. După expunerea la lumină ultravioletă, acestea înregistrează gradul de iritare a pielii în ceea ce privește arsurile solare. Numărul de tratamente este de 3 (numărul de creme), dimensiunea blocului este de 2 (numărul de mâini de persoană).

Schema BIBD corespunzătoare poate fi obținută ca R-function design.bib al pachetului R agricolae și este definită de următorul tabel:

O experienta	bloc	Tratament
101	unu	3
102	unu	2
201	2	unu
202	2	3
301	3	2
302	3	unu

Cercetătorul selectează parametrii v = 3 , k = 2 și λ = 1 pentru diagrama bloc, care sunt înlocuiți în funcția R. Restul parametrilor b și r sunt determinați automat.

Folosind rapoartele de bază, calculăm că avem nevoie de b = 3 blocuri, adică 3 subiecți, pentru a obține o diagramă incompletă echilibrată. Notând blocurile A , B și C , pentru a nu ne confunda, obținem o diagramă bloc,

A = {2, 3 }, B = {1, 3 } și C = {1, 2 }.

Matricea de incidență corespunzătoare este dată în tabel:

Tratament	Blocul A	Blocul B	Blocul C
unu	0	unu	unu
2	unu	0	unu
3	unu	unu	0

Fiecare tratament este cuprins în 2 blocuri, deci r =2 .

Doar un bloc ( C ) conține tratamentele 1 și 2 în același timp și același lucru este valabil și pentru perechile de tratamente (1,3) și (2,3). Prin urmare λ=1 .

Nu este posibil să folosiți regimul complet (toate tratamentele din fiecare bloc) în acest exemplu deoarece există 3 creme și doar 2 mâini per subiect.

Vezi și

Note

↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , p. 17−19.
↑ Stinson, 2003 , p. unu.
↑ Dovada a fost dată de Tarry în 1900, care a arătat că nu există o pereche de pătrate latine ortogonale de ordinul 6. O schemă 2 cu parametrii indicați echivalează cu existența a cinci pătrate latine ortogonale reciproc de ordinul șase.
↑ 1 2 3 Colbourn, Dinitz, 2007 , p. 27.
↑ Aceste scheme sunt numite și scheme proiective sau scheme pătrate . Aceste nume alternative au fost folosite în încercarea de a înlocui termenul „simetric”, deoarece nu există nimic simetric (în sensul obișnuit al termenului) despre aceste circuite. Termenul proiectiv a fost folosit de P. Dembowski ( Dembowski 1968 ), prin analogie cu cel mai general exemplu, planurile proiective. Termenul pătrat a fost folosit de P. Cameron ( Cameron, van Lint 1991 ), care reflectă egalitatea v = b pentru matricea de incidență. Niciun termen nu a fost preluat ca înlocuitor, iar circuitele sunt încă denumite simetrice .
↑ Stinson, 2003 , p. 23, Teorema 2.2.
↑ Ryser, 1963 , p. 102–104.
↑ 1 2 Hughes și Piper, 1985 , p. 109.
↑ Hall, 1986 , p. 320-335.
↑ Assmus, Key, 1992 , p. 55.
↑ Martin, Singerman, 2008 , p. patru.
↑ Salwach, Mezzaroba, 1978 .
↑ Kaski, Östergård, 2008 .
↑ Aschbacher, 1971 , p. 279–281.
↑ Stinson, 2003 , p. 74, Teorema 4.5.
↑ Hughes și Piper 1985 , p. 156, Teorema 5.4.
↑ Hughes și Piper 1985 , p. 158, Corolarul 5.5.
↑ Beth, Jungnickel, Lenz, 1986 , p. 40 Exemplul 5.8.
↑ Stinson, 2003 , p. 203, corolarul 9.6.
↑ Hughes și Piper 1985 , p. 29.
↑ Cameron, van Lint, 1991 , p. 11, Propunerea 1.34.
↑ Hughes și Piper 1985 , p. 132, Teorema 4.5.
↑ Cameron, van Lint, 1991 , p. 11, Teorema 1.35.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , p. 114, Observații 6.35.
↑ Strada, Strada, 1987 , p. 237.
↑ Strada, Strada, 1987 , p. 238.
↑ Strada, Strada, 1987 , p. 240, Lema 4.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , p. 562, Observație 42.3(4).
↑ Strada, Strada, 1987 , p. 242.
↑ Aceasta nu este o clasificare matematică, deoarece unul dintre tipuri este „tot restul”.
↑ Bose, Shimamoto, 1952 .
↑ Raghavarao, 1988 , p. 127.
↑ Noshad, Brandt-Pearce, 2012 , p. 968–971.

Literatură

Michael Aschbacher. Despre grupurile de coliniere ale modelelor bloc simetrice // Journal of Combinatorial Theory, Seria A. - 1971. - Vol. 11 , nr. 3 . — S. 272–281 . - doi : 10.1016/0097-3165(71)90054-9 .
E. F. Assmus, J. D. Key. Desenele și codurile lor. - Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - ISBN 0-521-41361-3 .
Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz. teoria designului. - Cambridge: Cambridge University Press , 1986. - ISBN 978-0-521-44432-3 .
RC Bose. O notă despre inegalitatea lui Fisher pentru modele de bloc incomplete echilibrate // Annals of Mathematical Statistics . - 1949. - S. 619-620 .
RC Bose, T. Shimamoto. Clasificarea și analiza modelelor bloc incomplete parțial echilibrate cu două clase asociate // Journal of the American Statistical Association. - 1952. - T. 47 . — S. 151–184 . - doi : 10.1080/01621459.1952.10501161 .
P. Cameron, JH van Lint. Modele, grafice, coduri și legăturile lor. - Cambridge University Press, 1991. - V. 22. - (London Mathematical Society Student Textes). - ISBN 978-0-521-41325-1 .
Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz. Manual de desene combinatorii. — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8 .
RA Fisher. O examinare a diferitelor soluții posibile ale unei probleme în blocuri incomplete // Analele Eugeniei . - 1940. - T. 10 . - S. 52-75 .
Marshall Hall Jr. teoria combinatorie. - New York: Wiley-Interscience, 1986. - ISBN 0-471-09138-3 .
D. R. Hughes, E. C. Piper. teoria designului . - Cambridge: Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-25754-9 .
Petteri Kaski, Patric Östergard. Există exact cinci biplanuri cu k =11 // Journal of Combinatorial Designs. - 2008. - T. 16 , nr. 2 . — S. 117–127 . - doi : 10.1002/jcd.20145 .
ES Lander. Proiecte simetrice: o abordare algebrică. — Cambridge: Cambridge University Press, 1983.
CC Lindner, CA Rodger. Teoria designului . - Boca Raton: CRC Press, 1997. - ISBN 0-8493-3986-3 .
Damaraju Ragharao. Construcții și probleme combinatorii în proiectarea experimentelor . — New York: Dover, 1988.
Damaraju Raghavarao, L.V. Padgett. Proiectări de bloc: analiză, combinatorie și aplicații. — World Scientific, 2005.
Herbert John Ryser. Matematică combinatorică (Monografia Carus #14). - Asociația de matematică din America, 1963.
Chester J. Salwach, Joseph A. Mezzaroba. Cele patru biplane cu k = 9 // Journal of Combinatorial Theory, Seria A. - 1978. - V. 24 , nr. 2 . — S. 141–145 . - doi : 10.1016/0097-3165(78)90002-X .
SS Shrikhande, Bhat-Nayak Vasanti N. Soluții non-izomorfe ale unor proiecte de bloc incomplete echilibrate I // Journal of Combinatorial Theory . — 1970.
Douglas R. Stinson. Proiecte combinatorii: Construcții și analize. - New York: Springer, 2003. - ISBN 0-387-95487-2 .
Strada Anne Penfold, Strada Deborah J.. Combinatoria designului experimental. - Oxford UP [Clarendon], 1987. - p. 400+xiv. — ISBN 0-19-853256-3 .
JH van Lint, RMWilson. Un curs de combinatorică . — Cambridge: Cambridge University Press, 1992.
Pablo Martin, David Singerman. De la biplanuri la Klein quartic și Buckyball . - 2008. - 17 aprilie.
Mohammad Noshad, Maite Brandt-Pearce. PPM expurgat folosind modele de bloc incomplete simetrice echilibrate // Scrisori de comunicații IEEE. - 2012. - iulie ( vol. 16 , numărul 7 ). - doi : 10.1109/LCOM.2012.042512.120457 .
P. Dembowski. Geometrii finite. — Springer, 1968.

Link -uri

DesignTheory.Org : Baze de date de proiecte combinatorii, statistice și experimentale de bloc. Software și alte resurse găzduite de Școala de Științe Matematice de la Queen Mary College, Universitatea din Londra.
Resurse pentru teoria designului : pagina lui Peter Cameron cu resurse de teorie a designului bazate pe web.
Weisstein , Eric W. Block Designs la Wolfram MathWorld .