Familie local finită de submulțimi

În topologia generală, finitatea locală este o proprietate a unei familii de submulțimi ale unui spațiu topologic . Această noțiune este o generalizare naturală a noțiunii de familie finită și joacă un rol cheie în studiul paracompacității și dimensiunii topologice .

Rețineți că termenul de finisare locală are semnificații diferite în alte domenii ale matematicii.

Definiție

O familie de submulțimi ale unui spațiu topologic este numită local finită dacă fiecare punct are o vecinătate care se intersectează cu cel mult un număr finit de elemente din această familie, adică pentru toți indici, dar poate pentru un număr finit de indici. Dacă orice punct are o vecinătate care intersectează cel mult unul dintre elementele acestei familii, atunci familia se numește discretă . $S=\{A_{i};i\in I\}$ $X$ $x\în X$ $U$ $U\cap A_{i}=\emptyset$ $i\în eu$ $x\în X$ $U$

Evident, o familie finită este local finită, în timp ce o familie local finită poate avea orice cardinalitate .

De exemplu, să considerăm o familie infinită de intervale pe linia reală R (aici , un întreg arbitrar ). Fiecare punct R are o vecinătate care intersectează cel mult două intervale ale familiei, adică familia este local finită. $(n,n+2)$ $n$ $x\in$

În general, o familie numărabilă nu trebuie să fie local finită: este suficient să luăm în considerare o familie de intervale pe linia reală. $(-n,n)$

Proprietăți

Pentru o familie finită local , este valabilă următoarea egalitate: $\{A_{i};i\in I\}$ ${\overline {\cup _{i\in I}A_{i}}}=\cup _{i\in I}{\overline {A_{i}}}$

După cum se știe, această proprietate este valabilă pentru o familie finită de submulțimi, dar în cazul general nu este cazul. Se poate argumenta doar că . Ca o consecință a primei proprietăți: $\cup _{i\in I}{\overline {A_{i)}}\subseteq {\overline {\cup _{i\in I}A_{i)}}$

Unirea unei familii local finite de mulțimi închise este închisă.

O familie infinită de submulțimi ale unui spațiu compact nu poate fi local finită.

Vezi și

Literatură

Aleksandryan R.A., Mirzakhanyan E.A. Topologie generală. - M . : Liceu, 1979