Spațiu paracompact

Un spațiu paracompact este un spațiu topologic în care orice capac deschis poate fi înscris cu un capac deschis local finit .

În același timp: o familie de mulțimi situate într-un spațiu topologic este numită local finită în dacă fiecare punct are o vecinătate în care intersectează doar o mulțime finită de elemente ale familiei ; o familie de mulțimi este înscrisă într-o familie de mulțimi dacă fiecare element al familiei este conținut într-un element al familiei .) ${\mathcal {U}}$ $X$ $X$ $x\în X$ $X$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal V}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal V}$

Un spațiu paracompact se numește spațiu Hausdorff paracompact . Paracompactitatea este una dintre cerințele inițiale în teoria varietăților .

Fiecare spațiu paracompact Hausdorff este normal . Acest lucru ne permite să construim partiții de unitate pe spații paracompacte supuse unei acoperiri deschise arbitrare date.

Proprietăți

În prezența paracompacității, unele proprietăți locale ale spațiului sunt sintetizate și implementate la nivel global. În special,
- dacă un spațiu paracompact este metrizabil local, atunci este metrizabil ;
- dacă un spațiu Hausdorff este local Cech complet și paracompact, atunci este Cech complet .
Paracompactitatea nu este moștenită de subspații arbitrare, dar fiecare subspațiu închis al unui spațiu paracompact este un spațiu paracompact.
Produsul a două spații paracompacte poate să nu fie un spațiu paracompact.
În clasa spațiilor Hausdorff
- Imaginea inversă a unui spațiu paracompact sub o mapare perfectă este un spațiu paracompact,
- Imaginea unui spațiu paracompact sub o mapare închisă continuă este un spațiu paracompact.
Spațiile paracompacte includ, în special, spațiile Lindelöf . Pentru spațiul tuturor funcțiilor reale continue pe un spațiu Tikhonov arbitrar dotat cu topologia convergenței punctuale, paracompactitatea este echivalentă cu Lindolöf.
Dacă un spațiu Banach din topologia slabă este generat topologic de o mulțime compactă care se află în el, atunci este paracompact.
Toate spațiile metrizabile sunt paracompacte (teorema lui Stone).
- Un spațiu paracompact este metrizabil dacă și numai dacă are o bază de ordine numărabilă, adică o bază, orice succesiune descrescătoare de elemente care conține orice punct , formează în mod necesar o bază în acel punct. $x\în X$
Toate compactele sunt paracompacte , dar
- Dar nu orice spațiu Hausdorff compact local este paracompact.

Definiții înrudite

Un spațiu numărabil paracompact este un spațiu topologic în care orice capac deschis numărabil poate fi înscris cu un capac deschis local finit.

Un spațiu slab paracompact (metacompact, punctwise paracompact) este un spațiu topologic în care orice acoperire deschisă poate fi înscrisă cu o acoperire deschisă finită punctual .

Un spațiu puternic paracompact (hipocompact) este un spațiu topologic în care orice capac deschis poate fi înscris cu un capac deschis stea-finit .

Un spațiu subparacompact (F σ -cernut) este un spațiu topologic în care orice capac deschis poate fi înscris cu o acoperire σ-local finită închisă

Literatură

Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.