Măsura Sinai-Ruelle-Bowen

Măsura Sinai-Ruelle-Bowen , sau măsura SRB , este o măsură a spațiului de fază al unui sistem dinamic, la care tinde distribuția traiectoriilor punctelor inițiale tipice (în sensul măsurării Lebesgue) (posibil dintr-o zonă oarecare). ). În acest caz, setul de puncte pentru care apare o astfel de tendință se numește bazin de atracție al acestei măsuri.

Conceptul este numit după Ya. G. Sinai , D. Ruell și R. Bowen , în ale căror lucrări a fost introdus.

Definiții

Mai exact, există două concepte neechivalente: definiția măsurii Sinai-Ruel-Bowen, asociată cu iterații de puncte tipice („măsură observată”) și modificarea acesteia, asociată cu iterații de măsuri absolut continue („măsură naturală”). ").

Definiția 1 . O măsură se numește măsură (observabilă) Sinai-Ruelle-Bowen dacă, pentru un set de puncte inițiale ale unei măsuri Lebesgue pozitive, distribuția orbitelor converge către : $\mu$ $X$ $\mu$

{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}\delta _{f^{j}(x)}\to \mu ,\quad n\to \infty .\qquad \qquad (*)

În acest caz, mulțimea de puncte x care satisfac (*) se numește bazinul de atracție al măsurii . $\mu$

În mod echivalent, această definiție poate fi formulată în termeni de medii de timp :

Definiția 1’. O măsură se numește măsura (observată) Sinai-Ruelle-Bowen dacă, pentru un set de măsurători Lebesgue pozitive, mediile de timp ale oricărei funcții continue converg aproape peste tot către integrala sa peste măsură. $\mu$ $M$ $\varphi$ $M$ $\mu$

{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}\varphi (f^{j}(x)){\xrightarrow[{n\to \infty } ]{{\text{ae in}}\,\,M}}\int \varphi \,d\mu .\qquad \qquad (**)

În acest caz, setul maxim pentru care este valabil (**) se numește bazinul de atracție al măsurii . $M$ $\mu$

În cazul unei măsuri naturale, considerăm iterațiile nu ale unei măsuri inițiale atomice (sau, ceea ce este același, distribuția unei orbite individuale), ci mediarea măsurilor inițiale absolut continue:

Definiția 2. O măsură se numește măsură (naturală) Sinai-Ruelle-Bowen dacă, pentru un set de măsură Lebesgue pozitivă pentru orice măsură inițială absolut continuă m, mediile ei de timp converg aproape peste tot către măsura : $\mu$ $M$ $\mu$

{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}(f^{j})_{*}(m)\la \mu ,\quad n\ la \infty .\qquad \qquad (***)

În acest caz, mulțimea maximă măsurabilă , pentru care (***) este valabilă, se numește bazinul de atracție al măsurii . $M$ $\mu$

Vezi și

Teorema Krylov-Bogolyubov

Literatură

Ya.G.Sinai, Măsurile Gibbs în teoria ergodică, Uspekhi Mathematicheskikh Nauk , 27 :4 (1972), 21--69.
R. Bowen. Stări de echilibru și teoria ergodică a difeomorfismelor Anosov. Note de curs Springer la matematică. 470 (1975).
D. Ruelle. O măsură asociată cu atractorii Axiomei A. amer. J Math. 98 (1976), pp . 619-654.
L.S. Tineri. Ce sunt măsurile SRB și ce sisteme dinamice le au? J. Statist. Fiz. , 108 (2002), pp. 733–754.
M. Blank, L. Bunimovici. Sisteme dinamice multicomponente: măsuri SRB și tranziții de fază. Nonlinearity , 16 (2003), pp. 387-401.