Medie temporară

Media de timp a unei funcții de-a lungul traiectoriei unui sistem dinamic este limita valorilor medii Cesare ale funcției în punctele traiectoriei.

Să considerăm un sistem dinamic cu timp discret dat de iterațiile mapării . Fie dată funcția pe spațiul fazelor . Media în timp parțială a unei funcții pe orbita unui punct peste pași este media Cesar a valorilor funcției în punctele orbitei: $f\coloan X\la X$ $X$ $\varphi \colon X\to \mathbb {R}$ $\varphi$ $X$ $n$

{\bar {\varphi }}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\varphi \circ f^{ k}(x)

Media de timp este limita mediei de timp parțial la : $n\la\infty$

{\bar {\varphi }}(x)=\lim _{n\to \infty }{\bar {\varphi }}^{n}=\lim _{n\to \infty }{\ frac {1}{n}}\sum _{k=0}\varphi \circ f^{k}(x)

Pentru un sistem cu timp continuu, media de timp este definită după cum urmează. Fie transformarea fluxului de fază să fie dată de funcția . Atunci media de timp este definită ca o limită de următoarea formă: $f(\cdot ;t)\colon X\to X$

{\bar {\varphi }}(x)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\varphi \circ f (x;t)\,dt

Unul dintre rezultatele importante ale teoriei ergodice este egalitatea mediilor temporale și spațiale (adică integrala peste spațiu) a funcțiilor continue pentru aproape toate traiectoriile sistemelor ergodice.

Exemplul lui Bowen oferă un exemplu de sistem în care o funcție continuă tipică nu are medii de timp pentru aproape toate condițiile inițiale.

Link -uri

Katok A. B. , Hasselblat B. Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice cu o trecere în revistă a realizărilor recente / Per. din engleza. ed. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .