Metamatematică
Metamatematica este o ramură a logicii matematice care studiază bazele matematicii , structura demonstrațiilor matematice și teoriile matematice folosind metode formale . Termenul metamatematică înseamnă literal „dincolo de matematică”.
În sensul larg al cuvântului, metamatematica este o metateorie a matematicii care nu implică restricții speciale asupra naturii metodelor metateoretice utilizate, asupra metodei de precizare și asupra volumului „matematicii” studiate în ea.
Informații de bază
Metamatematica consideră o teorie formalizată ca un set de anumite secvențe finite de simboluri numite formule și termeni, la care se adaugă un set de operații efectuate asupra acestor secvențe. Formulele și termenii obținuți cu ajutorul unor reguli simple servesc ca substitut pentru propoziții și funcții ale teoriei matematice semnificative. Operațiile pe formule corespund unor etape elementare de deducție în raționamentul matematic. Formulele corespunzătoare axiomelor unei teorii a conținutului acționează ca axiome ale unei teorii formalizate. Formulele care pot fi deduse din axiome prin intermediul operaţiilor acceptate corespund teoremelor teoriei conţinutului. Mulțimea de formule și setul de termeni, considerate ca mulțimi de șiruri finite cu operații, la rândul lor, pot fi obiecte de cercetare matematică.
Dezvoltarea metamatematicii
În perioada timpurie a dezvoltării logicii matematice, au fost utilizate în mare parte metode simple, toate cele nefinite au fost excluse. Conducătorul acestei direcții a fost D. Hilbert , care credea că, cu ajutorul unor metode simple, metamatematica va putea dovedi consistența teoriilor matematice fundamentale. Totuși, teoremele lui K. Gödel au arătat că programul lui Hilbert nu este fezabil. Utilizarea metodelor finite pentru studiul teoriilor formalizate este firească datorită naturii lor finite evidente. Dar, în practică, limitarea metodelor de demonstrare la metode elementare complică foarte mult cercetarea matematică. Prin urmare, pentru o pătrundere mai profundă în esența teoriilor formalizate, metamatematica modernă folosește pe scară largă metode mai complexe, nefinite. Setul de termeni ai oricărei teorii formalizate este o algebră, iar setul tuturor formulelor este, de asemenea, o algebră. După identificarea firească a formulelor echivalente, mulțimea tuturor formulelor devine o rețea (structură), și anume, algebră booleană, algebră pseudo-booleană, algebră booleană topologică etc., în funcție de tipul de logică adoptat în teorie. Aceste algebre, la rândul lor, sunt legate de noțiunea de câmp de mulțimi și de spațiu topologic. Din acest punct de vedere, pare firesc să folosim metodele algebrei, teoriei rețelelor (structurilor), teoriei mulțimilor și topologiei în metamatematică. Metoda lui Gödel de aritmetizare și teoria funcțiilor recursive sunt de asemenea utilizate pe scară largă.
Teoremele lui Gödel ar putea fi percepute ca „sfârșitul”, dar, mărturisind limitările finitismului, formalismului și programului Hilbert asociate acestora, precum și metoda axiomatică în general, aceste teoreme au servit în același timp ca un stimul puternic pentru căutarea unor mijloace de probă (în special, dovezi de consistență) mai puternice decât cele finite, dar și constructive într-un anumit sens. Una dintre aceste metode a fost inducția transfinită la primul transfinit constructiv de neatins. Această cale a făcut posibilă obținerea unei dovezi a consistenței aritmeticii (G. Gentsen, V. Ackerman, P. S. Novikov, K. Schütte, P. Lorenzen și alții). Un alt exemplu este programul ultra-intuiționist pentru fundamentul matematicii, care a făcut posibilă obținerea unei dovezi absolute (fără utilizarea reducerii la niciun alt sistem) a consistenței sistemului teoretic de mulțimi al axiomelor Zermelo-Fraenkel .
Scopuri și obiective
Metamatematica explorează următoarele întrebări:
- consecvența și completitudinea teoriilor formalizate;
- independența axiomei;
- problema de solubilitate;
- întrebări de definibilitate și imersiune a unor teorii în altele;
- oferă o definiție precisă a conceptului de demonstrație pentru diverse teorii formalizate și demonstrează teoreme de deducție;
- studiază problemele de interpretare a sistemelor formale și diferitele lor modele;
- stabileşte diverse relaţii între teoriile formalizate.
Subiectul și metoda metamatematicii
Subiectul metamatematicii constă într-o asemenea abstractizare a matematicii, când teoriile matematice sunt înlocuite cu sisteme formale, dovezi - prin unele secvențe de formule cunoscute, definiții - prin „expresii prescurtate” care sunt „teoretic opționale, dar comode tipografic”.
O astfel de abstractizare a fost inventată de Hilbert pentru a obține o tehnică puternică de studiere a problemelor metodologiei matematicii. În același timp, există probleme care intră în sfera abstracției metamatematice. Printre acestea se numără toate problemele legate de matematica „cu sens” și dezvoltarea acesteia, precum și toate problemele legate de logica situațională și de rezolvarea problemelor matematice.
Metoda este logica matematică .
Vezi și
- Axiomatica teoriei multimilor
- Secțiunea Dedekind
- Teorema completității lui Godel
- Teorema de incompletitudine a lui Godel
Literatură
- Gastev Y. Metamatematică. - Marea Enciclopedie Sovietică .
- Hilbert D. Fundamentele geometriei. - M. - L. : GITTL, 1948. - 491 p.
- Engeler E. Metamatematica matematicii elementare. — M .: Mir, 1987. — 128 p.
- Kleene S. K. Introducere în metamatematică / Per. din engleza. - M . : Literatură străină, 1957. - 526 p.
- Curry H. B. Fundamentele logicii matematice / per. din engleza. - M. , 1969. - cap. 2-3 s.
- Gentsen G. Consistența teoriei numerelor pure / per. cu el .. - M. , 1967. - p. 77-153 p.
- Tarsky A. Introducere în logica și metodologia științelor deductive / transl. din engleză. - M. , 1948.
Link -uri
- Lakatos I. Demonstrări și respingeri: Cum se dovedesc teoremele.
- teoremele lui Godel
- Metamatematică - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .
- Metateoria ca ierarhie a teoriilor după V. F. Turchin
 Dicționare și enciclopedii | |
|---|---|
| În cataloagele bibliografice |