Metoda fazei staționare

Metoda fazei staționare este o metodă utilizată pentru aproximarea integralelor de forma . $\int \limits _{a}^{b}e^{i\lambda \phi (x)}\Phi (x)\,dx$

Bazele

Ideea principală a metodei fazei staționare este reducerea sinusoidelor cu faza care se schimbă rapid. Dacă multe sinusoide au aceleași faze, atunci se adună, întărindu-se reciproc. Cu toate acestea, dacă aceleași sinusoide au faze care se schimbă rapid cu frecvența, ele se vor aduna, fie întărindu-se, fie slăbind reciproc.

Exemplu

Luați în considerare funcția

f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i{\big (}k(\omega) )x-\omega t{\big )}}\,d\omega .

Termenul de fază din această funcție este „staționar” când $\phi =k(\omega )x-\omega t$

{\frac {d}{d\omega }}{\big (}k\left(\omega \right)x-\omega t{\big )}\aprox 0

sau, echivalent,

{\frac {d\omega {dk)}\aprox {\frac {x}{t)).

Rădăcina acestei ecuații oferă frecvența dominantă pentru date și . Dacă extindem φ într-o serie Taylor aproape și neglijăm termenii de ordin superior în raport cu , atunci $\omega _{\text{dom}}(x,t)$ $X$ $t$ $\omega _{\text{dom}}$ $(\omega -\omega _{\text{dom}))^{2)$

\phi \sim k(\omega _{\text{dom)})x-\omega _{\text{dom}}t+{\frac {x}{2}}{\frac {d^{ 2}k}{d\omega ^{2}}}(\omega -\omega _{\text{dom}})^{2}.

Când x este mare, chiar și o mică diferență va provoca oscilații rapide în integrand, rezultând o contracție. Astfel, putem extinde granițele de integrare dincolo de granița de expansiune Taylor. Pentru a lua în considerare frecvențele negative, partea reală trebuie dublată: $\omega -\omega _{\text{dom}}$

f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}2\operatorname {Re} \left\{\exp {\big (}i[k(\omega _{\text{ dom)))x-\omega _{\text{dom}}t]{\big )}|F(\omega _{\text{dom}})|\int _{\mathbb {R} }\exp \left(i{\frac {x}{2}}{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}(\omega -\omega _{\text{dom}}) ^{2}\right)\,d\omega \right\}.

După integrare, avem

f(x,t)\sim {\frac {|F(\omega _{\text{dom))}|}{\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\ stânga|{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}\right|}}}\cos \left(k(\omega _{\text{dom}})x-\ omega _{\text{dom}}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right).

Cărți

Fedoryuk M. V. Metoda trecerii. - 1977. - S. 366.
A. I. Prilepko, D. F. Kalinichenko. Metode asimptotice și funcții speciale. - M. : MEPhI, 1980. - S. 107.
A. G. Sveșnikov, A. N. Tihonov. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - Ed. a V-a - M . : Nauka, Fizmatlit, 1999. - S. 319. - ISBN 5-02-015233-1 .

Metoda fazei staționare

Bazele

Exemplu

Cărți

Vezi și