Metoda de modelare entropică

Odată cu dezvoltarea tehnologiei informatice, simularea Monte Carlo devine din ce în ce mai populară în studiul diferitelor sisteme statistice, inclusiv: rețele neuronale, probleme de biologie și chimie, probleme de optimizare în diverse domenii, precum și în fizica statistică în studiul fazelor. tranziții și fenomene critice.

Aproape toate variațiile metodei Monte Carlo se bazează pe ideea metodei esențiale de eșantionare, scrisă de N. Metropolis et al. [1]

Un exemplu de implementare a metodei de modelare entropică este algoritmul Wang-Landau

Metoda Monte Carlo în mecanica statistică clasică

Problemele de termodinamică statistică de echilibru a sistemelor clasice pot fi reduse la calculul integralei statistice. De exemplu, în ansamblul canonic :

$Z(N,V,T)={\frac {1}{N!(2\pi \hbar )^{3N)}}\int \exp\{-\beta E(p,q)\ }dpdq,\qquad {\mbox{unde }}\beta ={\frac {1}{kT)),$

$N$ - numărul de particule din volum la o temperatură , ; - energia mecanică totală a particulelor; - un set de momente și coordonate ale acestora și . Energia clasică poate fi întotdeauna reprezentată ca suma energiilor cinetice și potențiale . Energia cinetică este o funcție pătratică a momentelor, iar integrarea asupra acestora se poate face în mod general. Ca rezultat, obținem: $V$ $T$ $\beta =1/kT$ $E(p,q)$ $p,q$ $dp=d^{3}p_{1}\ldots d^{3}p_{N}\,dq=d^{3}q_{1}\ldots d^{3}q_{N)$ $E(p,q)$ $K(p)$ $U(q)$

$Z(N,V,T)={\frac {1}{N!\Lambda ^{3N)}}\int \exp\{-\beta U(q)\}dq$

unde este lungimea de undă termică a particulelor de masă de Broglie la o temperatură de . Astfel, problema se reduce la calculul integralei de configurare $\Lambda ={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mkT}}}$ $m$ $T$

$Q(N,V,T)=\int \exp\{-\beta U(q)\}dq$

De la integrare peste coordonate, se poate trece la integrare prin energie:

$Q(\beta)=\int \Omega (E)\exp(-\beta E)dE$

$\Omega (E)=\int \delta (U(q)-E)dq$

unde este volumul părții din spațiul de configurare în care se află energia sistemului în intervalul de la până la , este funcția delta. $\Omega (E)$ $E$ $E+dE$ $\delta$

Vom efectua calcule folosind formulele de mai sus folosind metode numerice. Prin urmare, trecem de la integrale la sume integrale. Gama de energie a sistemului este împărțită într-un număr finit de segmente egale. Valorile sunt determinate . Ca rezultat, pentru orice valoare, mediile sale canonice pot fi calculate prin formula: $E_{min}\leq E\leq E_{max}$ $(N_{b})$ $\Omega (E_{i}), i=1,2,...,N_{b)$ $f$

$<f>(\beta)={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N_{b))f_{i}\Omega _{i}\exp(-\beta E_{ i})}{\sum \limits _{i=1}^{N_{b}}\Omega _{i}\exp(-\beta E_{i}})}}$ ,

unde este valoarea cantității pentru al- lea segment de energie. Deoarece intră liniar atât în numărător, cât și în numitorul formulei pentru , poate fi înțeles nu numai ca volum, ci și ca o fracțiune din spațiul de configurare corespunzătoare energiei . În fiecare stare (configurație) sistemul are o anumită energie. Acestea. fiecare stare (configurație) a sistemului poate fi asociată cu un punct de pe scara (axa) energiei în spațiul energetic (acest spațiu este unidimensional). Secvența modificărilor aleatorii în configurația sistemului corespunde mersului aleator al unui punct din spațiul energetic. Prin modelarea procesului de plimbare aleatoare folosind metoda Monte Carlo și cunoașterea sau calcularea valorilor lui , putem găsi valorile medii ale mărimilor fizice. $f_{i}$ $f$ $i$ $\Omega (E)$ $<f>$ $\Omega (E)$ $E$ $\Omega _{i)$

Algoritm de modelare entropică

Algoritmul de modelare entropică se bazează pe următoarea circumstanță. Efectuând o plimbare aleatorie în spațiul energetic cu probabilități de tranziție proporționale cu densitatea reciprocă a stărilor , obținem o distribuție uniformă a energiei. Cu alte cuvinte, alegând probabilitățile de tranziție astfel încât vizitarea tuturor stărilor de energie să devină uniformă, se poate obține o densitate de stări inițial necunoscută . $1/\Omega (E)$ $\Omega (E)$

Să scriem integrala de configurație în ansamblul canonic sub forma:

$Q(\beta)=\int e^{-\beta E(q)}dq=\int \Omega (E)e^{-\beta E}dE=\int e^{S(E) -\beta E}dE$

unde este entropia la o valoare dată (uneori va fi omisă, deoarece în simulare nu este necesar să se țină cont de această constantă). $S(E)=k\ln \Omega (E)$ $E$ $k$

Prin rătăcirea în spațiul configurației cu probabilități de tranziție care satisfac relația de echilibru detaliată

${\frac {p(q_{1}\rightarrow q_{2})}{p(q_{2}\rightarrow q_{1})}}=e^{-\beta (E(q_{2) })-E(q_{1})))}$ ,

obțineți un eșantion canonic de stări (sau ). Un eșantion arbitrar de stări de energie , unde este o funcție arbitrară, , corespunde condiției $P(q)\sim e^{-\beta E(q))$ $P(E)\sim e^{S(E)-\beta E)$ $P(E)\sim e^{A(E)}=e^{S(E)-J(E))$ $A(E)$ $J(E)=S(E)-A(E)$

${\frac {p(q_{1}\rightarrow q_{2})}{p(q_{2}\rightarrow q_{1})}}=e^{-\beta (J(E(q_ {2}))-J(E(q_{1})))}$ .

Când , în procesul de rătăcire, ar trebui să se obțină un eșantion uniform, în cadrul răspândirii statistice, de stări energetice, . În acest caz, definiția entropiei implică $J(E)=S(E)$ $P(E)\sim const$

${\frac {p(q_{1}\rightarrow q_{2})}{p(q_{2}\rightarrow q_{1))}={\frac {\Omega (E(q_{1 } ))}{\Omega (E(q_{2)))))$

Astfel, dacă, cu o anumită alegere a probabilităților de tranziție, obținem vizite uniforme la stările energetice, atunci putem calcula densitatea stărilor și, în consecință, integrala de configurație . $\Omega (E)$ $Q(\beta )$

Note

↑ N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller și E. Teller, J. Chem. Fiz. 21, 1087 (1953).