Model Plummer

Modelul Plummer , de asemenea sfera Plummer ( ing. Plummer model , ing. Plummer sphere ) este legea distribuției densității, aplicată pentru prima dată de G. Plummer în studiul clusterelor globulare [1] . Este adesea folosit ca model simplificat în cadrul modelării în problema N-corpilor .

Descrierea modelului

Profilul de densitate tridimensional în modelul Plummer are forma

\rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a ^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}},

unde este masa totală a obiectului simulat, a este așa-numita rază Plummer , un parametru de scară care stabilește dimensiunea caracteristică a miezului sistemului. Potenţialul corespunzător are forma $M_{0}$

\Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},

unde G desemnează constanta gravitațională . Dispersia vitezei este

\sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2)))}}.

Funcția de distribuție are forma

f({\vec {x)),{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3)}}{\frac {Na ^{2}}{G^{5}M_{0}^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},

dacă și altfel. Arată energia pe unitatea de masă. $E<0$ $f({\vec {x)),{\vec {v}})=0$ $E({\vec {x)),{\vec {v)})={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)$

Proprietăți

Masa în interiorul unei sfere de rază : $r$

M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.

Multe proprietăți ale modelului Plummer sunt descrise într-un articol de Herwig Deyonge [2] .

Raza miezului , la care densitatea scade la jumătate din valoarea din centru, este . $r_{c}$ $r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\aproximativ 0,64a$

Raza care conține jumătate din masă $r_{h}=\left({\frac {1}{0,5^{2/3}}}-1\right)^{-0,5}a\aprox 1,3a.$

Raza virială este . $r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\aprox 1,7a$

Densitatea suprafeței bidimensionale este

$\Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^ {2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2))}={\frac {M_{0}a ^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}}$ ,

de aici profilul de distribuție a masei bidimensional:

$M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a ^{2}+R^{2}}}$ .

În astronomie, poate fi necesar să se determine raza în care jumătate din masă este conținută într-o distribuție bidimensională . $M(R_{1/2})=M_{0}/2$

Pentru modelul Plummer . $R_{1/2}=a$

Punctele de cotitură ale orbitei particulelor de-a lungul razei sunt caracterizate de energie specifică și moment unghiular specific , valorile corespunzătoare ale distanțelor pot fi găsite ca rădăcini ale ecuației cubice $E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)$ $L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|$

R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2 }\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,

unde , deci . Această ecuație are trei rădăcini reale : două pozitive și una negativă, la , unde este momentul unghiular specific pentru o orbită circulară cu aceeași energie. poate fi calculat dintr-o singură rădăcină reală a discriminantului unei ecuații cubice, care este ea însăși o ecuație cubică $R={\sqrt {r^{2}+a^{2)})$ $r={\sqrt {R^{2}-a^{2)})$ $R$ $L<L_{c}(E)$ $L_{c}(E)$ $L_c$

{\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}} ^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\subliniat {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{ \underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\subline {L}}_{c}+\left(8{ \underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\subline {a}}^{2}\right)=0,

unde parametrii subliniați sunt adimensionali în unități Henon , definiți ca și . ${\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})$ ${\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V)))$ ${\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16$

Aplicații

Modelul Plummer face posibilă reprezentarea profilurilor de densitate observate ale clusterelor stelare, deși scăderea rapidă a densității la distanțe mari ( ) nu este potrivită pentru aceste scopuri. $\rho \rightarrow r^{-5}$

Comportarea densității în apropierea centrului sistemului nu corespunde caracteristicilor observate ale galaxiilor eliptice, în care densitatea crește mai puternic spre centru.

Ușurința cu care modelul Plummer poate fi aplicat la metoda Monte Carlo a făcut ca modelul Plummer să fie foarte popular în modelarea N-corpuri, în ciuda lipsei de realism a modelului [3] .

Note

↑ Plummer, H.C. (1911), Despre problema distribuției în clustere de stele globulare Arhivat 26 iunie 2019 la Wayback Machine , Mon. Nu. R. Astron. soc. 71 , 460.
↑ Dejonghe, H. (1987), O familie complet analitică de modele anizotrope Plummer Arhivat la 26 iunie 2019 la Wayback Machine . Lun. Nu. R. Astron. soc. 224 , 13.
↑ Aarseth, SJ, Henon, M. și Wielen, R. (1974), A comparison of numerical methods for the study of star cluster dynamics. Arhivat 19 aprilie 2020 la Wayback Machine Astronomy and Astrophysics 37.183 .