Problemă gravitațională a N-corpilor

Problema gravitațională a N - corpilor este o problemă clasică a mecanicii cerești și a dinamicii gravitaționale a lui Newton .

Se formulează după cum urmează.

Există N puncte materiale în gol , ale căror mase sunt cunoscute { m i }. Fie ca interacțiunea perechilor puncte să fie supusă legii gravitației lui Newton , iar forțele gravitaționale să fie aditive . Fie pozițiile inițiale și vitezele fiecărui punct r i | t =0 = r i0 , v i | t =0 = v i0 . Este necesar să găsiți pozițiile punctelor pentru toate momentele de timp ulterioare.

Formularea matematică a problemei gravitaționale cu N - corpi

Evoluția unui sistem de N corpuri gravitatoare ( puncte materiale ) este descrisă de următorul sistem de ecuații:

{\frac {d{{\mathbf r}}_{i}}{dt}}={{\mathbf v}}_{i},

{\frac {d{{\mathbf v}}_{i}}{dt}}=\sum \limits _{{j\neq i}}^{N}G\,m_{j}\,{\ frac {{{\mathbf r}}_{j}-{{\mathbf r}}_{i}}{\left|({\mathbf r}}_{j}-{{\mathbf r}}_ {i}\right|^{{3}}}},

unde este masa, raza vectorului și respectiv viteza i - lea corp ( i variază de la 1 la N ), G este constanta gravitațională . Masele corpurilor, precum și pozițiile și vitezele în momentul inițial de timp sunt considerate a fi cunoscute. Este necesar să se găsească pozițiile și vitezele tuturor particulelor la un moment arbitrar de timp. $m_{i},\,{{\mathbf r}}_{i},\,{{\mathbf v}}_{i}$

Soluție analitică

Cazul unui punct solitar nu face obiectul analizei dinamicii gravitaționale. Comportamentul unui astfel de punct este descris de prima lege a lui Newton . Interacțiunea gravitațională este cel puțin un act de pereche. $N=1$

Soluția la problema celor două corpuri este orbita sistemică baricentrică (a nu se confunda cu orbita centrală a câmpului Kepler). În deplină concordanță cu formularea originală a problemei, soluția problemei cu două corpuri este complet insensibilă la numerotarea punctelor și raportul dintre masele acestora. Câmpul lui Kepler orbita centrală apare prin trecerea la limită . În acest caz, egalitatea punctelor se pierde: se presupune că este un centru gravitator absolut imobil, iar primul punct „pierde” masa, parametrul iese din ecuațiile dinamice. În sens matematic, sistemul rezultat este degenerativ, deoarece numărul de ecuații și parametri este înjumătățit. Prin urmare, asimptotica inversă devine imposibilă: legea gravitației lui Newton nu decurge din legile lui Kepler. (Rețineți că masele nu sunt menționate deloc în legile lui Kepler.) $N=2$ ${\frac {m_{1}}{m_{2}}}\rightarrow 0$ $m_2$ $m_1$

Pentru problema celor trei corpuri din 1912, Karl Zundman a obținut o soluție analitică generală sub formă de serie. Deși aceste serii converg pentru orice moment de timp și cu orice condiții inițiale, ele converg extrem de lent [1] . Datorită convergenței extrem de lente, utilizarea practică a seriei Sundman este imposibilă [2] .

De asemenea, pentru problema celor trei corpuri, Heinrich Bruns și Henri Poincaré au arătat că soluția ei generală nu poate fi exprimată în termeni de funcții transcendentale algebrice sau cu o singură valoare de coordonate și viteze [2] . În plus, doar 5 soluții exacte ale problemei cu trei corpuri sunt cunoscute pentru viteze inițiale speciale și coordonatele obiectului.

Momentan, în general, problema corpurilor pentru poate fi rezolvată doar numeric, iar pentru seria Sundman, chiar și cu cele moderne. $N$ $N>3$ $N=3$ [ când? ] nivelul de dezvoltare a tehnologiei informatice este aproape imposibil de utilizat.

Metode numerice

Odată cu apariția tehnologiei computerizate , a apărut o oportunitate reală de a studia proprietățile sistemelor corpurilor gravitatoare prin rezolvarea numerică a unui sistem de ecuații ale mișcării. Pentru aceasta, de exemplu, se folosește metoda Runge-Kutta (de ordinul al patrulea sau mai mare).

Metodele numerice se confruntă cu aceleași probleme ca și metodele analitice - atunci când corpurile sunt apropiate, este necesar să se reducă etapa de integrare , iar în acest caz, erorile numerice cresc rapid. În plus, cu integrarea „directă”, numărul de calcule de forță pentru fiecare pas crește odată cu numărul de corpuri aproximativ ca , ceea ce face aproape imposibilă modelarea sistemelor formate din zeci și sute de mii de corpuri. $N^2$

Pentru a rezolva această problemă, se folosesc următorii algoritmi (sau combinații ale acestora):

Schema lui Ahmad-Cohen - propune împărțirea forței care acționează asupra fiecărui corp în 2 părți - neregulate (de la corpuri apropiate - „vecini”) și regulate (de la corpuri mai îndepărtate). În consecință, forța regulată poate fi recalculată cu un pas mult mai mare decât cel neregulat.
„Algoritmul Treecode” (Treecode), implementat pentru prima dată de Joshua Barnes [3] .

Integrale de mișcare

În ciuda simplității aparente a formulelor, nu există o soluție sub formă de expresii analitice finite pentru această problemă în formă generală pentru . După cum arată Heinrich Bruns , problema cu mai multe corpuri are doar 10 integrale algebrice independente de mișcare , care au fost găsite în secolul al XVIII-lea și care nu sunt suficiente pentru a integra problema a trei sau mai multe corpuri [4] [5] . Painlevé și Poincare au oferit propriile lor generalizări ale acestei teoreme . Painlevé a reușit să renunțe la cerința ca dependența de coordonate să fie algebrică, în timp ce Poincare a presupus că nu există o nouă integrală cu o singură valoare (toate integralele clasice, cu excepția integralei energetice, sunt funcții cu o singură valoare). Această ultimă afirmație, aparent, nu a fost încă dovedită riguros într-o formulare atât de generală. $N\geq 3$

În 1971, V. M. Alekseev a comentat pasajul corespunzător din Mecanica cerească a lui Poincaré [6] :

Inexistența unei integrale analitice cu o singură valoare în problema celor trei corpuri nu a fost încă dovedită cu deplină rigoare... Prima dovadă exactă a neintegrabilității unui sistem hamiltonian destul de general îi aparține lui Siegel [7] . Este interesant de observat că integralele non-analitice sunt posibile în problemele luate în considerare; existenţa lor decurge dintr-o teoremă a lui Kolmogorov [8] [9] . Dimpotrivă, în cazul în care numărul de variabile este mai mare de două, cel mai probabil, chiar și o integrală continuă este imposibilă [10] .

Vezi și

Note

↑ K. L. Siegel. Prelegeri despre mecanica cerească. Copie de arhivă datată 2 februarie 2021 la Wayback Machine - M.: IL, 1959.
↑ 1 2 A.P. Markeev. Problema celor trei corpuri și soluțiile ei exacte // Soros Educational Journal . - 1999. - Nr 9 . ( Copie articol Internet Archive )
↑ Trecode - Distribuție software . Consultat la 14 septembrie 2008. Arhivat din original la 2 februarie 2021. (nedefinit)
↑ Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. bd. 11 (1887), p. 25-96.
↑ Whitaker. Dinamica analitică.
↑ V. V. Kozlov. Simetrii, topologie și rezonanțe în mecanica hamiltoniană. - Izhevsk, 1995.
↑ Matematică. - 1961. - Nr. 5, nr. 2. - S. 129-155.
↑ Kolmogorov A. N. // DAN, 1954, 48, Nr. 4, 527-530
↑ Arnold V. I. // UMN, 1963, 18, Nr. 5-6
↑ Arnold V. I. // DAN, 1964, 154, Nr. 1, 9-12.

Literatură

James Binney, Scott Tremaine. Dinamica Galactică, 1988, ISBN 0-69-108445-9 .

Link -uri

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	NDL : 00572721

Orbite

Tipuri

Principal	Orbită cutie Captură orbită orbită circulară Orbită eliptică / Orbită eliptică înaltă Orbită de îngrijire Orbită funerară Traiectorie hiperbolica Orbită înclinată / Orbită neînclinată Orbită osculatoare Traiectorie parabolică Orbită de referință (inclusiv scăzută ) orbită sincronă ( Semi-sincron subsincrone ) Orbită staționară
Geocentric	orbită geosincronă orbită geostaţionară Orbită sincronă cu Soarele Orbită terestră joasă Orbită Pământului Mediu Orbită Pământului înaltă Orbită „Fulger” Orbită ecuatorială Orbita Lunii orbită polară Orbită „Tundra” TLE
În jurul altor corpuri și puncte cerești	Orbită areosincronă Orbită areostationară orbita halo Orbită Lissajous orbita lunară Orbită heliocentrică Orbită sincronă cu Soarele

Opțiuni

Clasic	$eu\,\!$ Starea de spirit $\Omega\,\!$ Longitudinea nodului ascendent $e\,\!$ Excentricitate $\omega\,\!$ argument periapsis $A\,\!$ Axa majoră $M_o\,\!$ Anomalii medii pe epocă
Alte	$\nu\,\!$ Adevărata anomalie $b\,\!$ Axa minoră $E\,\!$ Anomalie excentrică $L\,\!$ Longitudine medie $l\,\!$ longitudine adevărată $T\,\!$ Perioada de circulatie

Manevrele orbitale
Orbită de transfer bi-eliptică Marja caracteristică de viteză orbita de geotransfer Manevra gravitațională Viraj gravitațional orbita Hohmann Calea de tranziție cu costuri reduse Efectul Oberth Modificarea înclinației orbitale Fazarea orbitei Andocare Transpunere, andocare și extracție manevra de retragere

Alte subiecte în astrodinamică

Sistemul de coordonate ceresc
Sistemul de coordonate ecuatorial
Epocă
Efemeride
legile lui Kepler
Problemă gravitațională a N-corpilor
puncte Lagrange
Perturbare
Ecuația orbitei rețelei de transport interplanetar
Apocentrul și periapsis
Viteza orbitală
Parametrul gravitației
Vectori de stare orbitală
Energie orbitală specială
Cuplu relativ special
mișcare directă
mișcare retrogradă
Pista de orbită

Mecanica cerească

Legi și sarcini	legile lui Newton Legea gravitației legile lui Kepler Problemă cu două corpuri Problemă cu trei corpuri Problemă gravitațională a N-corpilor problema lui Bertrand ecuația lui Kepler
Sfera celestiala	Sistemul de coordonate ceresc galactic orizontală ecuatorial ecliptic Sistemul internațional de coordonate cerești Sistem de coordonate sferice axa mondială Ecuatorul ceresc ascensiunea dreaptă declinaţie Ecliptic Echinocţiu Solstițiul plan fundamental
Parametrii orbitei	Elementele kepleriene ale orbitei excentricitate semi-axa mare înseamnă anomalie longitudinea nodului ascendent argument periapsis Apocentrul și periapsis Viteza orbitală Nodul orbital Epocă
Mișcarea corpurilor cerești	Mișcarea soarelui și a planetelor în sfera cerească Efemeride Configurații de planetă confruntare compus cuadratura elongaţie parada planetelor Eclipsă eclipsă de soare eclipsa de luna saros Ciclul metonic Strat Tutorial punct culminant perioada siderale perioada sinodica Perioada de rotație rezonanța orbitală Preludiul echinocțiului Apropiere librare Domeniul gravitației efectul Kozai Efectul Yarkovsky efectul Dzhanibekov

Astrodinamica

Zbor în spațiu	viteza spatiala primul (circular) al doilea (parabolic) al treilea Al patrulea formula lui Ciolkovski Manevra gravitațională traiectoria Hohmann Metoda elementelor osculatoare Accelerația mareelor Modificarea înclinației orbitale Rețeaua de transport interplanetar Andocare puncte Lagrange Efect de pionier
SC orbite	orbită geostaţionară Orbită heliocentrică orbită geosincronă orbita geocentrică orbita de geotransfer Orbită terestră joasă orbită polară Orbită „Tundra” Orbită sincronă cu Soarele Orbită „Fulger” Orbită osculatoare