Modulul de continuitate

Pentru orice functie definita pe multimea , putem introduce conceptul de modul de continuitate al acestei functii, notat cu . Modulul de continuitate este de asemenea o funcție, prin definiție egală cu $f$ $E$ $\omega _{f}(\delta )$

\omega _{f}(\delta )=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon (x_{1},\;x_{2}\ în E)\land |x_{1}-x_{2}|<\delta \},

sau limita superioară a oscilației funcției pe toate subsegmentele de lungime mai mică de . De asemenea, în literatură există și alte denumiri: și (mai rar) . $E$ $\delta$ $\omega (f,\;\delta )$ $\omega (\delta ,\;f)$

Proprietăți ale modulului de continuitate

Funcția introdusă are o serie de proprietăți interesante.

Oricum , nu este negativ. $\delta$
Funcția nu scade.
O funcție este semi- aditivă dacă este convexă: $E$ $\omega _{f}(\delta _{1}+\delta _{2})\leqslant \omega _{f}(\delta _{1})+\omega _{f}(\delta _{2 }).$
Prin definiție, la punctul 0, modulul de continuitate este 0: $\omega _{f}(0){\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}0.$
Teorema de continuitate uniformă poate fi formulată după cum urmează. Dacă o funcție este definită pe un segment și este continuă pe acesta, atunci și invers. Această limită este de asemenea notă cu . $f$ $[a,\;b]$ $\lim _{{\delta \to 0+}}{\omega _{f}(\delta )}=0$ $\omega _{f}(0+)$
Dacă este continuă pe , atunci modulul său de continuitate este și o funcție continuă pe interval . $f(x)$ $[a,\;b]$ $[0,\;ba]$

Concepte înrudite

Modulul de continuitate s-a dovedit a fi un instrument subtil pentru studierea diferitelor proprietăți ale unei funcții, cum ar fi:

aparținând claselor Lipschitz și Hölder ;
netezime ;
diferentiabilitate ;
posibilități de aproximare efectivă a unei funcții prin polinoame ( inegalitatea Jackson-Stechkin )
și multe altele.

Variații și generalizări

Module de ordin superior de continuitate

Este ușor de observat că definiția modulului de continuitate folosește diferența finită de ordinul întâi a funcției . $f$

\omega _{f}(\delta )=\sup\{|\Delta _{h}^{1}(f,\;x)|\colon (x\in E)\land |h| <\delta \}.

Dacă în loc de diferența finită de ordinul întâi luăm diferența finită de ordin , atunci obținem definiția modulului de continuitate al ordinului . Denumirea obișnuită pentru astfel de module este . $n$ $n$ $\omega _{n}(f,\;\delta )$

Proprietăți

Dacă este un număr întreg, atunci $k$ $\omega _{n}(f,\;k\delta )\leqslant k^{n}\omega _{n}(f,\;\delta ).$

Module neclasice de continuitate

Există multe generalizări diferite ale conceptului de modul de continuitate. De exemplu, se poate înlocui operatorul de diferență finită cu un alt operator de diferență cu coeficienți arbitrari. Este posibil să se permită acestor coeficienți să fie neconstanți și să se schimbe în funcție de punctul în care este luat acest operator de diferență. De asemenea, puteți permite ca pasul cu care este luat operatorul de diferență să depindă și de punct. Astfel de module non-clasice de continuitate își găsesc aplicarea în diverse domenii ale matematicii moderne.

Link -uri

Modulul de continuitate și spațiile Hölder generalizate