Coeficientul multinomial

Coeficienți multinomiali ( polinomii ) - coeficienți în expansiune în termeni de monomii : $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}$ $x_{1}^{{k_{1}}}x_{2}^{{k_{2}}}\dots x_{m}^{{k_{m}}}$

(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}=\sum _{{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}} {n \alegeți k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}x_{1}^{{k_{1}}}x_{2}^{{k_{2}} }\dots x_{m}^{{k_{m}}}.

Formula explicita

Valoarea coeficientului multinomial este definită pentru toate numerele întregi nenegative n și astfel încât : $\textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}$ $k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n$

{\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m}!}}.

Coeficientul binom pentru numere întregi nenegative n , k este un caz special al coeficientului multinomial (pentru m = 2), și anume $\textstyle {\binom {n}{k)}$

{n \alege k}={n \alege k,\nk}.

Proprietăți

Într -un sens combinatoriu, coeficientul multinomial este egal cu numărul de partiții ordonate ale unui set de n elemente în m submulțimi de cardinalitate . $\textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}$

$\sum _{{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}}{n \alegeți k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m} }=m^{n}.$

Formula lui Stirling pentru fix implică formula asimptotică $(\alpha _{i})_{i=1}^{n}\in (0;1)^{n},\\alpha _{1}+\dots +\alpha _{k} =1$ ${\binom {n}{\alpha _{1}n,\ \dots ,\ \alpha _{k}n}}\sim \left({{\frac {1}{{\alpha _{ 1}}^{\alpha _{1}}\dots {\alpha _{k}}^{\alpha _{k}}}}+o(1)}\right)^{n}$

Vezi și

Distribuție multinomială