Formula Stirling

În matematică , formula Stirling (și formula Moivre-Stirling ) este o formulă pentru calculul aproximativ al funcției factoriale și gamma . Numit după James Stirling și Abraham de Moivre , acesta din urmă este considerat autorul formulei [1] .

Cea mai folosită versiune a formulei:

\ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln n).

Următorul termen din aceasta este ; deci o aproximare mai exactă: $O(\ln n)$ ${\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)$

\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^ {n}}}=1,

care este echivalent cu

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

Formula Stirling este adesea scrisă ca

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {\theta _{n}}{ 12n}},

unde , . O estimare mai precisă este dată de formulă $0<\theta _{n}<1$ $n>0$

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {1}{12n+\theta _{ n}}},

unde , . $0<\theta _{n}<1$ $n>0$

În ultima formulă, valoarea maximă este de fapt mai mică decât 1 și este aproximativ egală cu 0,7509. $\theta_n$

Formula lui Stirling este o aproximare obținută din extinderea factorialului într- o serie Stirling , care are forma $n>0$

{\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \sum _{ k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}=\\&={\sqrt {2\pi n}}\ stânga({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}- {\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)=\\&={\sqrt {2\pi n}} \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{ \frac {1}{(2^{3})(6n)^{2}}}-{\frac {139}{(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^ {3}}}-{}\right.\\&\qquad \left.{}-{\frac {571}{(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{ 4}}}+\cdots \right),\end{aliniat}}

unde sunt numerele Bernoulli cu numărul . $B j$ $j$

Această formulă folosește simbolul de echivalență în loc de egalitate, deoarece seria diverge pentru fiecare fix , dar este o expansiune asimptotică a factorialului pentru . $n$ $n\la\infty$

Link -uri

↑ Pearson, Karl (1924), Notă istorică despre originea curbei normale a erorilor , Biometrika vol . 16: 402–404 [p. 403] , DOI 10.2307/2331714 : „Stirling a arătat doar că constanta aritmetică din formula lui De Moivre este . Cred că acest lucru nu îl face autorul teoremei.” ${\sqrt {2\pi ))$

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Rusă mare Britannica (online)