Nonpredicativitate (matematică)

Nepredictivitatea unei definiții în matematică și logică , vorbind vag, înseamnă că semnificația unei definiții implică prezența unui obiect definit [1] . Exemplu: un obiect este definit ca un astfel de element al unei mulțimi care satisface o anumită relație între el și toate elementele acestei mulțimi (inclusiv el însuși ) [2] . În unele cazuri, o definiție nepredicativă poate duce la neînțelegeri sau chiar contradicții. Conceptul opus în sens este predicativitatea .

Pentru definițiile în limbaj formal, Enciclopedia Matematicii oferă o versiune mai riguroasă:

O proprietate (mai precis, o expresie de limbaj care exprimă această proprietate) se numește nepredicativă dacă conține o variabilă legată, în sfera căreia se încadrează obiectul care se definește. Se spune că o proprietate este predicativă dacă nu conține astfel de variabile asociate.

Nu există o definiție clară general acceptată a non-predictivității, diverse surse oferă definiții similare, dar diferite. De exemplu, se întâmplă următoarele: definiția unui obiect X este nepredicativă dacă se referă fie la X însuși, fie (cel mai adesea) la mulțimea care conține X; în același timp, pare a fi complet, deși această definiție poate afecta compoziția sa [3] [4] .

Exemple

Cel mai faimos exemplu de construcție nepredicativă este paradoxul lui Russell , în care este definită mulțimea tuturor mulțimilor care nu se conțin. Paradoxul constă în faptul că mulțimea astfel definită este inconsecventă în interior - se conține simultan și nu se conține. O versiune istorică clară a acestui paradox este „ paradoxul bărbierului ”: definiția „un sătean care rade acei săteni care nu se rade singuri” este non-predicativă, deoarece definește un sătean folosind relația sa cu toți sătenii (și, prin urmare, , iar cu el) [2] . Non-predictivitatea se găsește și în alte paradoxuri ale teoriei mulțimilor [3] .

Paradoxul omnipotenței este adesea menționat ca formulări non-predicative : „Poate Dumnezeu să creeze o piatră pe care el însuși nu o poate ridica?” Aici este folosit conceptul de „omnipotență”, a cărui definiție este contradictorie în interior [5] . În mod similar, este aranjat „ paradoxul mincinosului ” , în care afirmația se neagă.

În matematică, însă, există un număr considerabil de definiții nepredicative utilizate în mod obișnuit, care nu creează probleme și nu au o versiune predicativă simplă. În analiza clasică, de exemplu, aceasta este definiția celui mai mic infim al unui set de numere [6] :

Infimul exact (cel mai mare) al unui submult al unei multimi ordonate este cel mai mare element care nu depaseste toate elementele multimii

Un alt exemplu de definiție nepredicativă general acceptată și destul de sigură în analiză este determinarea valorii maxime a unei funcții pe un interval dat, deoarece valoarea care este definită depinde de toate celelalte, inclusiv de ea însăși [7] .

Construcțiile nepredicative folosesc demonstrația faimoasei teoreme de incompletitudine a lui Gödel : „formula indecidibilă” construită ca rezultat afirmă nedemonstrabilitatea în sine [8] .

În cele din urmă, în logică și informatică, există definiții recursive și algoritmi recursivi , în care non-predictivitatea este furnizată inițial și este parte integrantă a acestora.

Istorie

Termenii „predicativ” și „non-predicativ” au fost introduși într-un articol de Russell (1907) [9] , deși înțelesul termenului atunci era oarecum diferit. Henri Poincaré (1905-1906, 1908) a denunțat definițiile nepredicative ca fiind un cerc vicios periculos ; le-a considerat principala sursă de paradoxuri în teoria mulțimilor. Russell a susținut această evaluare și, în monografia sa Principia Mathematica , a luat măsuri pentru a evita non-predicativitatea ( teoria tipurilor și „axioma reductibilității”) [10] [11] . Hermann Weyl , în cartea sa „Das Kontinuum”, a expus o poziție filozofică care este adesea numită „predicativism” [12] .

Ernst Zermelo în 1908 s-a opus unei abordări excesiv de radicale și a dat două exemple de definiții non-predicative destul de inofensive folosite adesea în analiză. Hermann Weyl a încercat să găsească un analog predictiv al celei mai mici limite superioare, dar nu a reușit. De atunci, nimeni nu a mai putut construi o analiză completă pe o bază strict predicativă [1] [3] .

Note

  1. ↑ 1 2 Enciclopedia matematică, 1982 , p. 981.
  2. ↑ 1 2 Definiție non-predicativă Copie de arhivă din 3 februarie 2018 la Wayback Machine // Great Russian Encyclopedia.
  3. ↑ 1 2 3 Kleene S. K. Introducere în metamatematică. - M . : Editura de Literatură Străină, 1957. - S. 44-46. — 526 p.
  4. ↑ Dicționar Enciclopedic Filosofic, 1983 , p. 433.
  5. ↑ Kline M., 1984 , p. 241.
  6. ↑ Kline M., 1984 , p. 241-242.
  7. ↑ Kline M., 1984 , p. 242.
  8. ↑ Teorema de incompletitudine a lui Uspensky V. A. Gödel. — M .: Nauka, 1982. — 110 p. - ( Prelegeri populare despre matematică ).
  9. ↑ Russell, B. (1907), Despre unele dificultăți în teoria numerelor transfinite și a tipurilor de ordine. Proc. London Math. Soc., s2-4 (1): 29-53, doi:10.1112/plms/s2-4.1.29.
  10. ↑ Feferman, Solomon . Predicativitate Arhivat pe 11 iunie 2016 la Wayback Machine (2002)
  11. ↑ Comentariul lui Willard V. Quine înainte de logica matematică a lui Bertrand Russell din 1908, bazată pe teoria tipurilor
  12. ↑ Horsten, Leon. Filosofia matematicii  (engleză) . — Enciclopedia Stanford de Filosofie. Consultat la 15 noiembrie 2017. Arhivat din original la 11 martie 2018.

Literatură