Inegalitatea lui Wirtinger

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 12 martie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Din punct de vedere istoric, inegalitatea Wirtinger a fost numită inegalitatea în următoarea teoremă:

Fie o funcție f : R → R diferențiabilă continuu și 2π -periodic , și fie

\int \limits _{0}^{2\pi }f(x)dx=0

Apoi

\int \limits _{0}^{{2\pi }}f^{2}(x)dx\leq \int \limits _{0}^{{2\pi }}f'^{2}( x)dx

iar egalitatea se realizează dacă şi numai dacă

f(x)=a\sin x+b\cos x

, pentru unii a și b

sau, care este la fel,

f(x)=c\sin(x+d)

pentru unele c și d .

Această inegalitate a fost folosită în demonstrarea teoremei figurii celei mai mari zone pentru un perimetru fix .

Starea actuală a problemei

Este ușor de observat că inegalitatea Wirtinger leagă normele în spațiul derivatei și funcția în sine: $L^{2}$

{\|f\|}_{{L^{2}}}^{2}\leq {\|f'\|}_{{L^{2}}}^{2}

În această formă, inegalitatea este un analog unidimensional al inegalității lui Friedrich .

Este clar că se poate încerca să găsească o inegalitate similară pentru norme diferite (și chiar diferite) din partea dreaptă și stângă a inegalității. Această problemă a fost studiată intens de mulți matematicieni, este suficient să spunem că într-un articol de recenzie despre inegalitatea Wirtinger, au fost făcute peste 200 de referințe la lucrările diverșilor autori. În multe cazuri se găsesc atât constante exacte, care trebuie plasate în fața normei derivatei, cât și funcții extreme pe care inegalitatea se transformă în egalitate.