Zona figurii

Aria unei figuri plate estecaracteristică numerică aditivă a unei figuri care aparține în întregime unui singur plan . În cel mai simplu caz, când figura poate fi împărțită într-un set finit de pătrate unitare , aria este egală cu numărul de pătrate.

Despre definiție

O introducere formală a conceptului de suprafață și volum poate fi găsită în articolul Măsura Iordaniei , aici dăm doar o schiță a definiției cu comentarii.

Aria este o funcție cu valoare reală definită pe o anumită clasă de figuri în planul euclidian și care îndeplinește patru condiții:

Pozitiv - zona este nenegativă;
Normalizare - un pătrat cu o latură a unității are o zonă de 1;
Congruență - figurile congruente au aria egală;
Aditivitate - aria unirii a două figuri fără puncte interioare comune este egală cu suma ariilor.

În acest caz, o anumită clasă trebuie să fie închisă în ceea ce privește intersecția și unirea, precum și în ceea ce privește mișcările plane și să includă toate poligoanele . Din aceste axiome rezultă monotonitatea zonei, adică

Dacă o figură aparține altei figuri, atunci aria primei nu depășește aria celei de-a doua:

Cel mai adesea, un set de cifre pătrate este luat pentru „o anumită clasă” . Se spune că o figură este pătrată dacă pentru oricare există o pereche de poligoane și , astfel încât și , unde denotă aria . $F$ $\varepsilon >0$ $P$ $Q$ $P\subset F\subset Q$ $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ $S(P)$ $P$

Exemple de cifre la pătrat

poligoane;
orice figură delimitată de o curbă rectificabilă , în special un cerc;
o figură delimitată de un fulg de zăpadă Koch , deși limita sa nu este rectificabilă.

Definiții înrudite

Două figuri sunt numite egale dacă au aceeași zonă.

Comentarii

Există o modalitate riguroasă din punct de vedere matematic, dar ambiguă de a determina aria pentru toate submulțimile mărginite ale planului. Adică, pe mulțimea tuturor submulților mărginite ale planului, există diverse funcții de zonă care satisfac axiomele de mai sus, iar setul de cifre pătrate este setul maxim de cifre pe care aria este determinată în mod unic.
- Același lucru se poate face și pentru lungimea pe o linie dreaptă, dar nu și pentru volumul din spațiul euclidian și nici pentru aria pe o sferă unitară în spațiul euclidian (vezi, respectiv , paradoxul dublării mingii și paradoxul lui Hausdorff ).

Formule

Figura	Formulă	cometariu
triunghi dreptunghic	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}{\cdot }a^{2}$	$A$ este lungimea laturii triunghiului.
Triunghi	${\sqrt {p{\cdot }(pa){\cdot }(pb){\cdot }(pc)))$	Formula lui Heron . este semiperimetrul , , și sunt lungimile laturilor triunghiului. $p$ $A$ $b$ $c$
Triunghi	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }\sin \gamma$	$A$ și sunt cele două laturi ale triunghiului și este unghiul dintre ele. $b$ $\gamma$
Triunghi	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }b{\cdot }h$	$b$ și - latura triunghiului și înălțimea trase pe această latură. $h$
Pătrat	$a^2$	$A$ este lungimea laturii pătratului.
Dreptunghi	$a{\cdot }b$	$A$ și sunt lungimile laturilor dreptunghiului. $b$
Romb	$a^{2}{\cdot }\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$A$ - latura rombului, - unghiul interior, - diagonalele . $\alfa$ $b,c$
Paralelogram	$b{\cdot }h$	$b$ - lungimea uneia dintre laturile paralelogramului și - înălțimea trasată pe această latură. $h$
Trapez	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }(a+b){\cdot }h$	$A$ și sunt lungimile laturilor paralele și este distanța dintre ele (înălțimea). $b$ $h$
Patrulater	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }m{\cdot }n{\cdot }\sin \phi$	$n$ și sunt lungimile diagonalelor și este unghiul dintre ele. $m$ $\phi$
Hexagon obișnuit	${\tfrac {3{\cdot }{\sqrt {3}}}{2}}{\cdot }a^{2}$	$A$ este lungimea laturii hexagonului.
Octogon obișnuit	$2{\cdot }(1+{\sqrt {2))){\cdot }a^{2}$	$A$ este lungimea laturii octogonului.
poligon regulat	${\frac {n{\cdot }a^{2}}{4{\cdot }\tan(\pi /n)))$	$A$ este lungimea laturii poligonului și este numărul de laturi ale poligonului. $n$
poligon regulat	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }p$	$A$ este apotema (sau raza cercului înscris în poligon) și este perimetrul poligonului. $p$
Poligon arbitrar	${1 \over 2}\left\|\sum _{i=0}^{n-1}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i} &y_{i+1}\end{pmatrix}}\right\|$	Formula ariei Gauss . sunt coordonatele vârfurilor -gonului, $(x_{i}, y_{i})$ $n$ $(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})$
Un cerc	$\pi {\cdot }r^{2)$ sau ${\frac {\pi {\cdot }d^{2}}{4}}$	$r$ este raza cercului și este diametrul acestuia. $d$
sector cerc	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }r^{2}{\cdot }\theta$	$r$ și sunt raza și, respectiv, unghiul sectorului (în radiani ). $\theta$
Elipsă	$\pi {\cdot }a{\cdot }b$	$A$ și sunt semiaxele majore și minore ale elipsei. $b$

Vezi și

Dispariția celulelor
Măsura Borel
Măsura Iordaniei
Măsura Lebesgue
Zona orientata
Pătrat
Suprafață
Teorema Bolyai-Gerwin privind echiconstituția poligoanelor cu arii egale
Triunghi despre ariile triunghiurilor
Patrulater despre ariile patrulaterelor

Literatură

V. Boltyansky , Despre conceptele de zonă și volum. Arhivat 5 mai 2017 la Wayback Machine Kvant , nr. 5, 1977
B. P. Heidman , Areas of polygons Arhivat la 10 iunie 2017 la Wayback Machine , Biblioteca de educație matematică , numărul 16, (2002).
§§ 244-276 în A. P. Kiselev, Geometrie conform Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Lungime, suprafață, volum. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
V. A. Rokhlin , Arie și volum Arhivat 11 aprilie 2021 la Wayback Machine , Encyclopedia of Elementary Mathematics, Cartea 5, Geometrie, editată de P. S. Aleksandrov, A. I. Markushevich și A. Ya. Khinchin.