Inegalitatea Jackson-Stechkin

Inegalitatea Jackson-Stechkin conectează valoarea celei mai bune aproximări a unei funcții cu o anumită clasă de funcții cu proprietățile acestei funcții, de obicei cu valoarea modulului de continuitate al acestei funcții la un anumit punct. Exemplu:

E_{n}(f)_{L^{2}}<K\omega _{f}(\delta).

În exemplu, valoarea celei mai bune aproximări a unei funcții prin polinoame de grad în spațiu este estimată de sus prin valoarea modulului de continuitate al funcției în punctul . Mărimea se numește constanta Jackson . Întrebarea celei mai mici valori a acestei cantități (despre „constanta Jackson exactă”) este, de regulă, foarte dificilă. În cazurile în care este rezolvabilă, constanta minimă pentru care inegalitatea rămâne valabilă se numește punctul Chernyh , care este, de asemenea, netrivial de găsit. $f$ $n$ $L^{2}$ $f$ $\delta$ $K$ $\delta$

Istorie

Pentru prima data o inegalitate de acest tip a fost obtinuta de D. Jackson ( engleza Dunham Jackson ) in 1911 pentru cazul aproximarii functiilor periodice prin polinoame trigonometrice . A arătat asta

E_{n}(f)\leqslant c\omega \left(f,\;{\frac {1}{n)}\right)

și

E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{r}}{n^{r}}}\omega \left(f^{(r)},\;{\frac {1} {n}}\dreapta).

Iată valoarea celei mai bune aproximări a funcției în metrica uniformă prin polinoame trigonometrice de grad . În prima inegalitate, se presupune că funcția este continuă , iar în a doua - ori diferențiabilă. $E_{n}(f)$ $f$ $n-1$ $f$ $r$

În 1945, Sigmund a obținut inegalități similare folosind modulul de continuitate de ordinul doi, în 1947 academicianul S. N. Bernshtein a putut folosi modulul de continuitate de ordin . În 1949, S. B. Stechkin a generalizat toate rezultatele anterioare și a stabilit (prin o metodă diferită de Jackson) că $k$

E_{n}(f)\leqslant c_{k}\omega _{k}\left(f,\;{\frac {1}{n))\right)

și

E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{k+r}}{n^{r}}}\omega _{k}\left(f^{(r)},\; {\frac {1}{n}}\dreapta).

Aici constantele nu depind de , sau . Drept urmare, în literatura internă, inegalitatea a început să fie numită inegalitatea Jackson-Stechkin , iar inegalitățile similare au început să fie numite inegalități de tip Jackson-Stechkin . $c_{k}$ $f$ $n$ $r$

În 1961, N.P. Korneichuk a subliniat constanta Jackson exactă în prima inegalitate:

E_{n}(f)<1\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi {n)}\right).

În 1967, Stechkin a obținut inegalitatea lui Jackson în spații pentru toți : $L_{p}$ $p\in [1,\;\infty )$

E_{n}(f)_{p}<{\frac {3}{2}}\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi {n}}\right) _{p}.

Mai târziu, un număr mare de matematicieni din diferite țări au fost angajați în acest subiect (și sunt încă implicați în ea), au fost obținute inegalități similare pentru diferite spații , aproximând clase și module de continuitate .