Inegalitatea lui Kolmogorov

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 8 martie 2015; verificările necesită 15 modificări .

Inegalitatea lui Kolmogorov este o generalizare a versiunii probabilistice a inegalității lui Cebyshev , care limitează probabilitatea ca suma parțială a unui set finit de variabile aleatoare independente să nu depășească un număr fix. Înființat de Andrei Kolmogorov la mijlocul anilor 1920 și aplicat de acesta pentru a demonstra legea puternică a numerelor mari .

Formularea [1] : pentru variabile aleatoare independente definite pe un spațiu de probabilitate comun cu așteptări și varianțe matematice și o variabilă arbitrară , este adevărat: $(\Omega,\F,\Pr)$ $X_{1},\dots,X_{n}\ :\Omega \to R$ $MX_{i}=0,i\leqslant n$ $Var[X_{i}]<+\infty$ $\lambda >0$

\Pr \left(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \right)\leqslant {\frac {1}{\lambda ^{2)}} \operatorname {Var} [S_{n}]\equiv {\frac {1}{\lambda ^{2))}\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} [X_{i} ]

(unu)

unde . $S_{k}=X_{1}+\dots +X_{k)$

Dacă, în plus , $\Pr(|X_{i}|\leqslant c)=1,i\leqslant n$

\Pr \left(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \right)\geqslant 1-{\frac {(\lambda +c)^{2 }}{\operatorname {Var} [S_{n}]}}

(2)

Dovada

Denota

A=\{\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \)

A_{k}=\{|S_{i}|<\lambda ,i=1,...,k-1,|S_{k}|\geqslant \lambda \},1\leqslant k\ leqslant n

Apoi și $A=\sum A_{k)$

MS_{n}^{2}\geqslant MS_{n}^{2}I_{A}=\sum _{k=1}^{n}{MS_{n}^{2}I_{A_ {k}}}

(Unde este indicatorul )

eu

Dar

MS_{n}^{2}I_{A_{k}}=M\left(S_{k}+\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)\ dreapta)^{2}I_{A_{k}}=

=MS_{k}^{2}I_{A_{k))+2MS_{k}\stânga(X_{k+1}+...+X_{n}\right)I_{A_{k }}+M\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)^{2}I_{A_{k}}\geqslant MS_{k}^{2}I_{A_{ k}},

întrucât , în virtutea independenței și condițiilor asumate. Prin urmare, $MS_{k}\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)I_{A_{k}}=MS_{k}I_{A_{k}}M\left (X_{k+1}+...+X_{n}\dreapta)=0$ $MX_{i}=0,i\leqslant n$

\sum _{k=1}^{n}Var[X_{i}]=MS_{n}^{2}\geqslant \sum _{k=1}^{n}MS_{n}^ {2}I_{A_{k}}\geqslant \sum _{k=1}^{n}MS_{k}^{2}I_{A_{k}}\geqslant \lambda ^{2}\sum _ {k=1}^{n}MI_{A_{k}}=\lambda ^{2}\sum _{k=1}^{n}\Pr(A_{k})=\lambda ^{2} Pr(A)

ceea ce demonstrează inegalitatea 1 .

Pentru a demonstra inegalitatea 2 , rețineți că

MS_{n}^{2}I_{A}=MS_{n}^{2}-MS_{n}^{2}I_{\bar {A}}\geqslant MS_{n}^{2 }-\lambda ^{2}Pr({\bar {A)))=MS_{n}^{2}-\lambda ^{2}+\lambda ^{2}Pr(A)

(3)

Pe de altă parte, pe platou $A_k$

|S_{k-1}|\leqslant \lambda ,|S_{k}|\leqslant |S_{k-1}|+|X_{k}|\leqslant \lambda +c

prin urmare,

MS_{n}^{2}I_{A}=\sum _{k}MS_{k}^{2}I_{A_{k))+\sum _{k}M(I_{A_{ k}}(S_{n}-S_{k})^{2})\leqslant (\lambda +c)^{2}\sum _{k}Pr(A_{k})+\sum _{k =1}^{n}Pr(A_{k})\sum _{j=k+1}^{n}MX_{j}^{2}\leqslant

\leqslant \Pr(A)\left[(\lambda +c)^{2}+\sum _{j=1}^{n}MX_{j}^{2}\right]=Pr( A)\left[(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}\right]

(patru)

Din (3) și (4) aflăm că:

Pr(A)\geqslant {\frac {MS_{n}^{2}+\lambda ^{2}}{(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}- \lambda ^{2))}=1-{\frac {(\lambda +c)^{2}}{(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}-\lambda ^ {2}}}\geqslant 1-{\frac {(\lambda +c)^{2}}{MS_{n}^{2}}}=1-{\frac {(\lambda +c)^{ 2}}{\operatorname {Var} [S_{n}]}}

Note

↑ Henneken, 1974 , p. treizeci.

Literatură

Billingsley, Patrick. Probabilitate și măsură (neopr.) . New York: John Wiley & Sons, Inc. , 1995. - ISBN 0-471-00710-2 . (Teorema 22.4)
Feller, William . Ointroducere în teoria probabilității și aplicațiile sale, Vol. 1 . - A treia editie. New York: John Wiley & Sons, Inc. , 1968. - P. xviii + 509. — ISBN 0-471-25708-7 .
Henneken P. L., Tortra A. Teoria probabilității și unele dintre aplicațiile sale. — M .: Nauka, 1974. — 472 p.
Shiryaev A. N. Probabilitate. - Ed. a 3-a, revizuită. și suplimentar .. - M . : MTSNMO , 2004. (Capitolul 4 § 2 secțiunea 1)