Inegalitatea Markov

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 februarie 2019; verificările necesită 3 modificări .

Inegalitatea lui Markov în teoria probabilității oferă o estimare a probabilității ca o variabilă aleatoare nenegativă să depășească în valoare absolută o constantă pozitivă fixă, în ceea ce privește așteptarea sa matematică . Deși estimarea rezultată este de obicei aproximativă, oferă o idee despre distribuție atunci când aceasta din urmă nu este cunoscută în mod explicit.

Formulare

Fie definită o variabilă aleatoare nenegativă în spațiul de probabilitate , iar așteptarea ei matematică să fie finită. Apoi $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+)$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ ${\mathbb {E}}X$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} X}{a)}

unde . $a>0$

Exemple

1. Fie o variabilă aleatoare nenegativă. Apoi, luând , primim $X\geqslant 0$ $a=2{\mathbb {E}}X$

{\mathbb {P}}(X\geqslant 2{\mathbb {E}}X)\leqslant {\frac {1}{2}}

2. Lăsați elevii să întârzie în medie 3 minute și ne interesează care este probabilitatea ca un elev să întârzie 15 sau mai multe minute. Pentru a obține o estimare aproximativă de mai sus, puteți utiliza inegalitatea Markov:

\mathbb {P} (|X|\geqslant 15)\leqslant {\frac {3}{15}}=0{,}2

Dovada

Fie ca o variabilă aleatoare nenegativă să aibă o densitate de distribuție , atunci pt $X$ $p(x)$ $a>0$

\mathbb {E} X=\int _{0}^{\infty}xp(x)dx\geqslant \int _{a}^{\infty}xp(x)dx\geqslant \int _{ a}^{\infty }ap(x)dx=a\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)

Relația cu alte inegalități

Dacă înlocuim o variabilă aleatoare în loc de o variabilă aleatoare în inegalitate , atunci obținem inegalitatea Chebyshev : $X$ $(Y-\mathbb {E} Y)^{2}$

\mathbb {P} (|Y-\mathbb {E} (Y)|\geq b)\leq {\frac ({\textrm {Var)}(Y)}{b^{2)}} .

Și invers, reprezentând o variabilă aleatoare nenegativă ca un pătrat al unei alte variabile aleatoare , astfel încât , din inegalitatea Chebyshev pentru obținem inegalitatea Markov pentru . Distribuția unei variabile aleatoare este definită astfel: , . $X$ $X=Y^{2}$ $\mathbb {E} Y=0$ $Y$ $X$ $Y$ $\mathbb {P} (Y<-{\sqrt {a))}=\mathbb {P} (Y>{\sqrt {a))}=\mathbb {P} (X>a)/2$ $\mathbb {P} (Y=0)=\mathbb {P} (X=0)$

Dacă o funcție pozitivă arbitrară nedescrescătoare, atunci $\phi(x)$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(\phi (X)\geqslant \phi (a)\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[\phi (X)\right]}{\phi (a)))

În special , pentru , pentru orice $\phi (x)=e^{xt)$ $t\geqslant 0$

{\displaystyle \mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[e^{Xt}\right]}{e^{la)}}= {\frac {M_{X}(t)}{e^{at))))

unde este functia generatoare a momentelor . Minimând partea dreaptă față de , obținem inegalitatea lui Cernov . $M_{X}(t)$ $t$

Inegalitatea lui Cernov oferă o estimare mai bună decât inegalitatea lui Cebyshev, iar inegalitatea lui Cebyshev oferă o estimare mai bună decât inegalitatea lui Markov. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece inegalitatea lui Markov presupune cunoașterea doar a primului moment al variabilei aleatoare , a lui Cebișev - primul și al doilea, a lui Cernov - toate momentele. $X$

Vezi și

Link -uri

Preferință video despre variabile aleatoare, inegalități Markov și Chebyshev