Inegalitatea lui Pido

Inegalitatea Pidot (de asemenea , inegalitatea Pidot-Neuberg ) este o inegalitate în geometrie numită după Daniel Pidot (1910-1998) și Joseph Neuberg (1840-1926). Inegalitatea afirmă că dacă , , și , , sunt lungimile laturilor triunghiurilor și , a și sunt ariile lor, atunci $A$ $b$ $c$ $A'$ $b'$ $c'$ $ABC$ $A'B'C'$ $S$ $S'$

a^{2}(-{a'}^{2}+{b'}^{2}+{c'}^{2})+b^{2}({a'}^{ 2}-{b'}^{2}+{c'}^{2})+c^{2}({a'}^{2}+{b'}^{2}-{c'} ^{2})\geq 16SS',

iar egalitatea se realizează dacă și numai dacă aceste triunghiuri sunt similare cu perechi de laturi corespunzătoare și . $(a,a')$ $(b,b')$ $(c,c')$

Expresia din stânga nu este doar simetrică pentru permutările perechilor , și , ci și (ceea ce poate nu este atât de evident) rămâne neschimbată dacă și , și , și sunt interschimbate . Cu alte cuvinte, expresia din stânga este o funcție simetrică a unei perechi de triunghiuri. $(a,a')$ $(b,b')$ $(c,c')$ $A$ $A'$ $b$ $b'$ $c$ $c'$

Un caz special al inegalității lui Pido, în care unul dintre triunghiuri este echilateral , este inegalitatea lui Weizenbock .

Pido a descoperit această inegalitate în 1941 și a publicat-o în mai multe lucrări. El a aflat mai târziu că inegalitatea era deja cunoscută de Neuberg în secolul al XIX-lea, care, totuși, nu a dovedit că egalitatea implică asemănarea a două triunghiuri.

Literatură

Daniel Pedoe: O inegalitate care leagă oricare două triunghiuri . Gazeta matematică, vol. 25, nr. 267 (dec. 1941), pp. 310-311 ( JSTOR Arhivat 18 august 2016 la Wayback Machine )
Daniel Pedoe: O inegalitate în două triunghiuri . The American Mathematical Monthly , volumul 70, numărul 9, pagina 1012, noiembrie 1963.
Daniel Pedoe: O inegalitate pentru două triunghiuri . Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, volumul 38, partea 4, pagina 397, 1943.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities . MAA, 2009, 978-0-88385-342-9, p. 108 Arhivat 18 august 2016 la Wayback Machine
DS Mitrinović, Josip Pečarić: Despre inegalitățile Neuberg-Pedoe și Oppenheim . Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196-210 ianuarie 1988 ( copie online Arhivat la 7 august 2016 la Wayback Machine )