Inegalitatea lui Hardy

Inegalitatea lui Hardy este o inegalitate matematică numită după autorul, matematicianul englez G. H. Hardy . Prima dată publicată și demonstrată în 1920 în nota lui Hardy [1] privind simplificarea demonstrației teoremei lui Hilbert a seriei duble [2] [3] .

Formulare

Iată o versiune modernă a inegalității; diferă oarecum de cea dată în prima publicație a lui Hardy – în 1926 Edmund Landau a precizat coeficientul din partea dreaptă [4] .

Fie o succesiune de numere reale nenegative , care nu sunt toate egale cu zero. Atunci pentru orice număr real este valabilă următoarea inegalitate: $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ $p>1$

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{ p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.

Constanta din dreapta este optimă, adică în cazul oricărei scăderi a acesteia, inegalitatea poate să nu fie satisfăcută [5] . $\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}$

Versiune integrală

Dacă este o funcție integrabilă nenegativă , atunci [6] : $f(x)$

\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p }\,dx\leqslant \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx .

Egalitatea laturilor stângă și dreaptă este posibilă dacă și numai dacă funcția este egală cu zero aproape peste tot [6] . $f(x)$

Note

Din inegalitatea lui Hardy, inegalitatea lui Carleman poate fi dedusă ca o consecință .

Inegalitatea integrală a lui Hardy are numeroase generalizări [7] [8] .

Note

↑ Hardy, GH Notă despre o teoremă a lui Hilbert // Mathematische Zeitschrift : jurnal. - 1920. - Vol. 6 , nr. 3-4 . - P. 314-317 . - doi : 10.1007/BF01199965 .
↑ Hilbert inequality // Mathematical Encyclopedia (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1977. - T. 1. - S. 967-968.
↑ Hardy, Littlewood, Poya 2006 , Teorema 315 și urm.
↑ Hardy, Littlewood, Poya 2006 , notă despre Teorema 327.
↑ Hardy, Littlewood, Poya 2006 , Teorema 326 și urm.
↑ 1 2 Hardy, Littlewood, Poya 2006 , Teorema 327.
↑ Enciclopedia de matematică, 1985 .
↑ Ruzhansky, Michael. Inegalități Hardy pe grupuri omogene: 100 de ani de inegalități Hardy . - ISBN 978-3-030-02894-7 , 3-030-02894-1.

Literatură

Nikolsky S. M. Aproximarea funcțiilor mai multor variabile și teoreme de încorporare, ed. a II-a, M.: Nauka, 1977, 456 p.
Xapdy G. G. , Littlewood D. E. , Polia G. Inequalities = Inequalities. - M. : KomKniga, 2006. - 458 p. — ISBN 5-484-00363-6 .
Hardy inequality // Enciclopedia matematică (în 5 volume) . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5. - S. 772-773.
Kufner, Alois; Persson, Lars-Erik. Inegalități ponderate de tip Hardy (neopr.) . - World Scientific Publishing , 2003. - ISBN 981-238-195-3 .
Masmoudi, Nader (2011), About the Hardy Inequality, în Dierk Schleicher, Malte Lackmann, An Invitation to Mathematics , Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 CS1 maint: Utilizează parametrul editorilor (link) Masmoudi, Nader (2011), About the Hardy Inequality, în Dierk Schleicher, Malte Lackmann, An Invitation to Mathematics , Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 .

Link -uri

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Hardy inequality , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4