Forma normală de joc

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 octombrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

În teoria jocurilor , un joc în formă normală sau strategică ( forma normală engleză ) constă din trei elemente: un set de jucători, un set de strategii pure pentru fiecare jucător și un set de funcții de câștig pentru fiecare jucător. Astfel, jocul în formă normală poate fi reprezentat ca o matrice (tabel) n-dimensională, ale cărei elemente sunt vectori de profit n-dimensionali. Acest tabel se numește matricea plăților .

Definiție formală

Un joc în formă normală se numește triplu , unde $G=\left\langle P,\mathbf {S} ,\mathbf {F} \right\rangle$

P=\{1,2,\ldots ,m\}

- mulți jucători

\mathbf {S} =\{S_{1},S_{2},\ldots,S_{m}\)

este setul de seturi de strategii pure pentru fiecare jucător,

{\displaystyle \mathbf {F} =\{F_{1},F_{2},\ldots,F_{m}\))

- multe funcții de plată pentru fiecare jucător.

Fiecare jucător are un set finit de strategii pure și o funcție de utilitate (funcția payoff) . $i\in P$ $S_{i}=\{1,2,\ldots ,n_{i}\}$ $F_{i}:S_{1}\times S_{2}\times \ldots \times S_{m}\rightarrow \mathbb {R}$

Rezultatul jocului este o combinație a strategiilor pure ale fiecărui jucător:

{\vec {s}}=(s_{1},s_{2},\ldots,s_{m})

unde . $s_{1}\in S_{1},s_{2}\in S_{2},\ldots ,s_{m}\in S_{m)$

Doi jucători/două strategii

	Jucătorul 2 L	Jucătorul 2R
Jucătorul 1 U	4 , 3	-1 , -1
Jucătorul 1D	0 , 0	3 , 4
Forma normală pentru un joc cu 2 jucători, fiecare cu 2 strategii.

Cazul a doi jucători - două strategii pure este afișat pe masă. Strategiile pure ale primului jucător sunt U și D. Strategiile pure ale celui de-al doilea jucător sunt L și R. Dacă primul jucător alege U și al doilea jucător (în același timp) alege L, atunci câștigurile corespunzătoare sunt 4 și 3 (primul element al vectorului (4, 3) denotă plata primului jucător, iar al doilea - plata celui de-al doilea jucător în cazul în care s-au ales strategiile U și L). Adică, pentru a găsi distribuția plăților corespunzătoare fiecărui set de strategii jucat, trebuie doar să găsiți vectorul situat la intersecția rândurilor și coloanelor corespunzătoare ale tabelului (rândurile corespund strategiilor primului jucător și coloanele corespund strategiilor celui de-al doilea jucător). Combinația de strategii jucate se numește rezultatul jocului. În acest exemplu, rezultatul jocului este (U, L). Toate rezultatele posibile pentru acest joc: {(U, L), (U, R), (D, L), (D, R)}. Evident, fiecare celulă a tabelului corespunde unuia dintre rezultatele posibile.

Funcție de utilitate

În cazul general, se presupune că jucătorul are preferințe cu privire la setul de rezultate. Adică, pentru fiecare jucător sunt date relații binare între elementele acestui set. Aceasta înseamnă că jucătorul poate compara oricare două rezultate: jucătorul fie preferă unul dintre cele două rezultate, fie rămâne indiferent între ambele rezultate. În anumite ipoteze suplimentare despre preferințele jucătorului, se poate demonstra că există o funcție de utilitate Neumann-Mongenstern care reprezintă utilitatea fiecărui rezultat ca un număr real u(s), iar dacă u(s)≥u(s') < => jucătorul preferă (sau este indiferent față de) rezultatul rezultatului. În exemplul nostru, primul jucător preferă rezultatul (U, L) în locul rezultatului (D, R) deoarece 4>3.

Jocuri cu informații complete/incomplete

În jocurile cu informații complete, descrierea jocului este cunoscută de toți jucătorii (toți jucătorii cunosc strategiile pure și funcțiile utilitare ale tuturor celorlalți jucători). În jocurile cu informații incomplete, este posibil ca unii jucători să nu cunoască funcțiile utilitare ale altor jucători (adică să nu cunoască anumite valori specifice pentru celulele tabelului din exemplul nostru).

Orice joc în formă extensivă poate fi reprezentat printr-un joc în formă normală (nu neapărat echivalent). Reprezentarea în formă normală a jocului poate fi folosită pentru a găsi strategii dominate.

Vezi și

Forma extinsă a jocului

Literatură

Vasin A. A. , Morozov V. V. Teoria jocurilor și modelele economiei matematice. - M. : Max-press, 2005. - 272 p. — ISBN 5-317-01388-7 .
Danilov V. I. Prelegeri despre teoria jocurilor . - M.: NES, 2002. - 140 p. : bolnav. ISBN 5-8211-0193-X
Petrosyan L.A. , Zenkevich N.A., Semina E.A. Teoria jocurilor: manual pentru universități. - M .: Mai sus. Scoala, Casa de carte „Universitate”, 1998. - S. 304. - ISBN 5-06-001005-8 , 5-8013-0007-4.