Spațiu normal

Un spațiu normal este un spațiu topologic care satisface axiomele de separare T 1 , T 4 , adică un astfel de spațiu topologic în care mulțimile de un punct sunt închise și orice două mulțimi închise care nu se intersectează sunt separabile prin vecinătăți (adică ele sunt cuprinse în mulţimi deschise care nu se intersectează).

Proprietăți

Spațiile normale formează un caz special de spații complet regulate sau Tihonov. Aceasta rezultă din lema lui Urysohn: într-un spațiu normal, oricare două mulțimi închise disjunse sunt separabile funcțional .
Teorema de continuare a lui Tietze . Fiecare funcție reală continuă dată pe o submulțime închisă a unui spațiu normal se extinde continuu la întreg spațiul.
Fiecare subspațiu închis al unui spațiu normal este normal.
Spațiile ale căror subspații sunt normale sunt numite ereditar normale sau complet normale .
- Pentru normalitatea ereditară, este suficient ca toate subspațiile sale deschise să fie normale.
- Pentru normalitatea ereditară a spațiului, este necesar și suficient ca oricare două seturi să fie separate prin vecinătăți, niciuna dintre ele nu conține puncte de contact ale celeilalte.
Un spațiu normal se numește perfect normal dacă fiecare mulțime închisă din el este intersecția unui număr numărabil de mulțimi deschise.
- Fiecare spațiu perfect normal este un spațiu normal ereditar.
- Fiecare spațiu metric este perfect normal.
Un spațiu normal în care, pentru orice familie discretă de mulțimi închise , există o familie discretă de mulțimi deschise, astfel încât pentru fiecare se numește colectiv normală . ${\{F_{s}\}}_{s\în S}$ ${\{U_{s}\}}_{s\in S}$ $F_{s}\subset U_{s}$ $s\în S$
- Toate spațiile
Hausdorff paracompacte (în special, spațiile metrice) sunt colectiv normale.

Produsul a două spații normale nu trebuie să fie normal și nici măcar produsul dintre un spațiu normal și un segment nu trebuie să fie normal.

Literatură

Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.