Despre interpretarea teoretică cuantică a relațiilor cinematice și mecanice

„Despre interpretarea teoretică cuantică a relațiilor cinematice și mecanice” ( germană: Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen ) este un articol scris de Werner Heisenberg care a apărut în Zeitschrift für Physik în septembrie 1925 și a pus bazele mecanicii cuantice . Articolul a fost trimis editorilor pe 25 iulie 1925 - această zi poate fi considerată ziua de naștere a teoriei cuantice moderne [1] .

În timp ce se recupera de febra fânului pe insula Helgoland , Heisenberg a lucrat la lucrare în timpul corespondenței cu Wolfgang Pauli [2] pe acest subiect . Întrebat ce părere are despre manuscris, Pauli a răspuns pozitiv [3] , dar Heisenberg a spus că este încă „foarte nesigur în privința asta” [4] . În iulie 1925, a trimis manuscrisul lui Max Born pentru revizuire și decizie cu privire la publicarea lui [5] .

În articol, Heisenberg a încercat să explice nivelurile de energie ale oscilatorului anarmonic unidimensional , evitând noțiunile de orbite ale electronilor neobservabile , folosind cantități observabile precum probabilitățile de tranziție pentru „ sărituri cuantice ”, care necesita utilizarea doi indici corespunzători stărilor inițiale și finale [ 6] .

Tot în lucrare a apărut și comutatorul Heisenberg , legea lui de înmulțire, necesară pentru a descrie anumite proprietăți ale atomilor, prin care produsul a două mărimi fizice nu comută . Prin urmare, PQ va fi diferit de QP , unde, de exemplu, P este impulsul electronului, iar Q este coordonata acestuia. Paul Dirac , care a primit o copie de probă a articolului în august 1925, și-a dat seama că legea comutativității nu a fost terminată și a creat o expresie algebrică a acelorași rezultate într-o formă mai logică [7] .

Cuprins

Cinematica cuantică

Rezumatul articolului formulează scopul principal al articolului [8] [9]

În această lucrare, se încearcă obținerea bazelor mecanicii teoretice cuantice, care se bazează exclusiv pe relațiile dintre mărimile fundamental observabile.

Ca mărimi „neobservabile” care erau folosite în vechea teorie cuantică: coordonatele și perioada revoluției electronului. În consecință, valorile disponibile în experiment au fost observabile: energiile orbitelor Bohr și frecvențele de tranziție [8] : $W(n)$

\omega (n,n-\alpha )={\frac {1}{\hbar }}\left[W(n)-W(n-\alpha)\right]\,,

( Niv. 1.1 )

unde n este un număr natural care denotă nivelul inițial de energie, iar noul nivel este notat cu indicele n - α . În locul cinematicii obișnuite, adică căutarea traiectoriei electronilor x ( t ) , Heisenberg a propus să ia în considerare probabilitățile de tranziție între orbitele Bohr staționare. Traiectoria unui electron (se consideră o problemă unidimensională) situat la nivelul n cu o frecvență fundamentală ω ( n ) poate fi reprezentată ca o serie Fourier [8] :

x(n,t)=\sum _{-\infty }^{\infty }X_{\alpha }(n)\exp ^{i\omega (n)\alpha t}\,.

( Niv. 1.2 )

Puterea de radiație a armonicii α poate fi luată din formula Larmor pentru un electron accelerat clasic care se mișcă într-un potențial parabolic

-\left({\frac {dE}{dt}}\right)_{\alpha }={\frac {e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}c^{3 ))}[\omega (n)\alpha ]^{4}|X_{\alpha }(n)|^{2}\,,

( Niv. 1.3 )

unde e este sarcina electronului, c este viteza luminii [10] . Formula clasică pe care Heisenberg o rescrie pentru a se potrivi cu mărimile cuantice ω ( n ) α este înlocuită cu expresia eq. 1.1 , pentru componenta Fourier X α ( n ) — X ( n , n - α ) [8] . Partea dreaptă a ur. 1.3 este înlocuit cu produsul dintre energie și probabilitatea de tranziție

P(n,n-\alpha )={\frac {e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}\hbar c^{3}}}[\omega (n,n- \alpha )]^{4}|X(n,n-\alpha )|^{2}\,,

( Niv. 1.4 )

Amplitudinea de tranziție X ( n , n - α ) Heisenberg se referă și la valoarea observată [8] [11] . Această cantitate descrie o singură tranziție, iar pentru probabilitatea totală de tranziție trebuie luate în considerare toate mărimile.În plus, autorul pune întrebarea despre reprezentarea pătratului traiectoriei particulei x ( t ) 2 , care se dovedește a fi produsul din două serii Fourier eq. 1.2 pentru o particulă clasică [8] : $X(nn-\alpha )\exp[i\omega (n,n-\alpha )t]\,.$

[x(t)]^{2}=\sum _{\alpha }\sum _{\gamma}X_{\alpha }(n)X_{\gamma }(n)\mathrm {e} ^ {i\omega (n)(\alpha +\gamma )t}\,

( Niv. 1,5 )

iar după schimbarea variabilelor $\beta =\alpha -\gamma$

[x(t)]^{2}=\sum _{\beta}Y_{\beta}(n)\mathrm {e} ^{i\omega (n)\beta t}\,,

( Niv. 1.6 )

Unde

Y_{\beta}(n)=\sum _{\alpha }X_{\alpha }(n)X_{\beta -\alpha }(n)\,.

( Niv. 1.7 )

Analog cuantic al eq. 1.6 va exista o expresie a formei Principiul combinației Ritz [11] este folosit pentru a construi un analog al eq. 1.7 [8] : $Y(n,n-\beta)\exp[i\omega (n,n-\beta)t]\,.$

\omega (n,n-\alpha)+\omega (n-\alpha,n-\beta)=\omega (n,n-\beta)\,.

( Niv. 1.8 )

din care urmează regula înmulțirii amplitudinilor de tranziție [12]

Y(n,n-\beta)=\sum _{\alpha }X(n,n-\alpha)X(n-\alpha,n-\beta)\,.

( Niv. 1.9 )

Heisenberg notează că produsul [ x ( t )] n se obține în mod similar, dar luarea în considerare a produselor a două mărimi x ( t ) y ( t ) este dificilă, deoarece în teoria cuantică, spre deosebire de clasică, expresia poate diferi de y ( t ). ) x ( t ) , pe care l-a interpretat ca o caracteristică importantă a cinematicii cuantice [8] .

Dinamica cuantică

Heisenberg a stabilit mărimi observabile pentru noua teorie cuantică: amplitudini și frecvențe de tranziție. Revenind la luarea în considerare a dinamicii folosind exemplul unui oscilator armonic unidimensional, a cărui soluție în vechea teorie cuantică a constat în integrarea ecuațiilor de mișcare [8]

{\ddot {x}}+f(x)=0\,

( Niv. 2.1 )

și obținerea condițiilor cuantice pentru mișcările periodice

\oint pdq=\oint m{\dot {x}}^{2}dt\equiv J\,(=nh)\,,

( Niv. 2.2 )

unde h este constanta lui Planck. Pentru un oscilator clasic, înlocuind expansiunea coordonatei sub forma unei serie Fourier eq. 1,2 în ur. 2.1 se pot obţine relaţii de recurenţă pentru coeficienţii de expansiune. Folosind observabile cinematice noi derivate anterior, este posibil să se obțină relații de recurență similare pentru o anumită expresie f ( x ) , care este discutată mai jos . Pentru condiții cuantice, el a folosit aceeași serie clasică de ecuații. 1.2 , ceea ce duce la expresia [8]

\oint m{\dot {x}}^{2}dt=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }|X_{\alpha }(n)|^ {2}\alpha ^{2}\omega (n)\,.

( Niv. 2.3 )

Echivalând această expresie cu nh și diferențiind față de h , Heisenberg obține expresia [8]

h=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }\alpha {\frac {d}{dn))(\alpha |X_{\alpha }(n)| ^{2}\omega (n))\,,

( Niv. 2.4 )

în care mărimile X α ( n ) sunt definite până la o constantă. Această expresie poate fi scrisă în cantități noi observabile după utilizarea regulii corespondenței Bohr

h=4\pi m\sum _{\alpha =0}^{\infty }{|X(n+\alpha,n)|^{2}\omega (n+\alpha,n)-|X (n,n-\alpha )|^{2}\omega (n,n-\alpha )}\,,

( Niv. 2,5 )

care este regula sumei Thomas-Kuhn . Acum Heisenberg rezolvă sistemul eq. 2.1 și ur. 2.5 pentru un anumit tip de forță care este un oscilator anarmonic unidimensional [8] . $f(x)=\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}\,,$

Soluție pentru oscilatorul anarmonic

Conform ipotezei Heisenberg, ecuația clasică a mișcării pentru un oscilator anarmonic descrie și dinamica cuantică [12]

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}=0\,.

( Liv. 3.1 )

Această ecuație este exprimată în cantități observabile folosind ecuația. 1.7 devine [8]

[\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}(n,n-\alpha )]X(n,n-\alpha )+\lambda \sum _{\beta}X (n,n-\beta )X(n-\beta ,n-\alpha )=0\,.

( Liv. 3.2 )

Această expresie ia o formă recurentă pentru fiecare valoare a lui α . Apoi el construiește o teorie a perturbației în termenii unui parametru mic pentru un oscilator anarmonic, extinzând soluția clasică a ecuației. 3.1 la rând [8] :

x(t)=\lambda a_{0}+a_{1}\cos \omega t+\lambda a_{2}\cos 2\omega t+\lambda ^{2}a_{3}\cos 3\ omega t+\dots +\lambda ^{\alpha -1}a_{\alpha }\cos \alpha \omega t+\dots \,.

( Niv. 3.3 )

ai căror coeficienți sunt de asemenea extinși în serie în parametrul mic

a_{0}=a_{0}^{(0)}+\lambda a_{0}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{0}^{(2)}+\ puncte\,,

( Niv. 3.4 )

a_{1}=a_{1}^{(0)}+\lambda a_{1}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{1}^{(2)}+\ puncte\,,

( Niv. 3,5 )

precum şi frecvenţa

\omega =\omega _{0}+\lambda \omega ^{(1)}+\lambda ^{2}\omega ^{(2)}+\dots \,.

( Niv. 3.6 )

Furnizarea ur. 3,3 în ur. 3.1 , se obține un sistem de ecuații pentru coeficienții de expansiune. Pentru a găsi acești coeficienți în teoria perturbației de ordinul întâi, este necesar să ne restrângem la termenii la prima putere a lui λ . Folosind o metodă similară pentru observabilele cuantice, Heisenberg ajunge la ecuații cuantice pentru coeficienții de expansiune și construiește soluții pentru aceștia. În primul rând [8]

\omega ^{(0)}(n,n-\alpha )=\omega _{0}\,.

( Niv. 3.8 )

a^{(0)}(n,n-\alpha )=A_{\alpha }{\frac {\beta ^{\alpha }}{\omega _{0}^{2(\alpha - 1)))}{\sqrt {\frac {n!}{(n-\alpha )!}}}\,.

( Niv. 3.8 )

unde și este un coeficient numeric în funcție de α . Pentru energia oscilatorului, el găsește o expresie în cazul clasic $\beta ={\sqrt {h/\pi m\omega _{0)}}\,$ $A_{\alpha )$

W=nh\omega _{0}/2\pi \,

( Niv. 3.9 )

iar în cazul cuantic

W=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)h\omega _{0}/2\pi \,,

( Liv. 3.10 )

compară rezultatul calculelor de ordinul doi al teoriei perturbațiilor în λ 2 , ceea ce este în concordanță cu calculele anterioare din vechea teorie [8] .

Istorie

În prima sa scrisoare către Pauli din 29 septembrie 1922, acesta ia în considerare interacțiunea unui oscilator clasic anarmonic cu radiația, dar introduce amortizarea fără a explica mecanismul acesteia [13] . Într-o scrisoare către R. Kronig din 5 iunie 1925, Heisenberg folosește deja noua teorie cuantică pentru a rezolva oscilatorul anarmonic. Deja în această scrisoare el dă echivalentul produsului armonicilor clasice

b_{2}{\textrm {e}}^{2i\omega t}=(a_{1}{\textrm {e}}^{i\omega t})^{2}\,,

în observabile cuantice [14]

b(n,n-2)=a_{1}(n,n-1)a_{1}(n-1,n-2)\,.

Această expresie este echivalentă cu produsul elementelor matricei. Se pare că Heisenberg a descoperit-o în iunie [14] .

În iunie 1925, Heisenberg a suferit de o criză severă de febră a fânului, așa că, la sfatul unui medic, s-a mutat din Göttingen pe insula Helgoland , care nu avea vegetație înflorită. Acolo, ideile sale despre o nouă teorie cuantică au luat forma lor finală [2] . Într-o scrisoare din 21 iunie către Pauli, el notează energia oscilatorului armonic cuantic, iar într-o scrisoare din 24 iunie discută mai detaliat oscilatorul anarmonic, care mai târziu apare în lucrarea sa [15] . La 29 iunie s-a convins de corectitudinea rezultatului său, iar zece zile mai târziu a terminat de scris manuscrisul și a trimis articolul lui Pauli, cerându-i părerea [16] .

Evaluări

Van der Waerden evidențiază următoarele rezultate principale ale lucrării lui Heisenberg:

mecanica clasică își pierde aplicabilitatea pentru scările atomice;
mecanica clasică trebuie să fie cazul limitativ al teoriei cuantice pentru numere cuantice mari, în conformitate cu principiul corespondenței;
o metodă de succes pentru a lega teoria cuantică și cea clasică ar trebui luată în considerare înlocuirea diferențialelor în expresiile clasice cu diferențe finite în cazul cuantic;
Heisenberg a văzut problema principală cu înțelegerea mecanicii la dimensiuni atomice nu în abaterea de la legile clasice, ci în inacceptabilitatea descrierii cinematice a mișcării ca atare [17] ;
respingerea interpretării clasice a coordonatei x în ecuația mișcării [18] ;
utilizarea cantităților de tranziție în loc de coordonatele pierdute [19 ]
găsirea relației cantităților de tranziție cu intensitățile observate ale liniilor spectrale [20] ;
formularea mecanicii cuantice exclusiv în termeni de mărimi observabile [21] ;
formularea regulilor de multiplicare a observabilelor cuantice, care au fost ulterior interpretate sub forma unor reguli pentru produsul matricelor [22] ;
formularea regulilor de cuantizare;
existența stării fundamentale a unui sistem cuantic [23] .

Rezultatul obținut de Heisenberg pentru energia unui oscilator armonic conținea energia oscilațiilor în punctul zero, care au fost descoperite de R. Milliken cu șase luni înainte de publicarea articolului său [24] . Inconsecvența teoriei lui Bohr cu traiectorii clasice imaginare [24] s-a dovedit a fi inconsecventă cu principiul combinației Ritz, așa cum arată Heisenberg [25] . Articolul a pus bazele mecanicii matriceale , dezvoltată ulterior de M. Born și Pascual Jordan . Când M. Born a citit articolul, și-a dat seama că formularea lui Heisenberg ar putea fi rescrisă în limbajul riguros din punct de vedere matematic al matricilor. M. Born, cu ajutorul asistentului său și fostului elev P. Jordan , a rescris-o imediat într-o formă nouă și și-au trimis rezultatele spre publicare. M. Born a formulat condițiile cuantice Heisenberg în forma modernă a relației de incertitudine unde 1 este matricea identității [26] . M. Born l-a numit pe Heisenberg „un ignorant talentat” din cauza ignoranței sale cu privire la aparatul matematic al matricelor, dar a capacității de a-l redescoperi [25] . Manuscrisul lor a fost primit pentru publicare la numai 60 de zile după lucrarea lui Heisenberg [27] . O lucrare de continuare a tuturor celor trei autori, extinzând mecanica matricei la mai multe dimensiuni, a fost trimisă spre publicare înainte de sfârșitul anului [28] . ${\textbf {pq}}-{\textbf {qp}}={\frac {h}{2\pi i}}{\textbf {1}}\,,$

În ciuda contribuției fundamentale la crearea teoriei cuantice moderne, articolul lui Heisenberg este greu de înțeles: de exemplu, S. Weinberg a spus că nu a putut înțelege motivația unora dintre tranzițiile matematice ale autorului [8] . De asemenea, E. Fermi nu s-a putut ocupa de mecanica cuantică bazată pe lucrarea lui Heisenberg și a studiat-o pe baza teoriei lui E. Schrödinger [29] . N. Bohr a apreciat foarte mult legătura matematică formalizată dintre rezultatele lui Heisenberg și principiul corespondenței [30] .

Note

↑ Milantiev, 2009 , p. 147.
↑ 12 van der Waerden, 1968 , p. 25.
↑ Mehra, Rechenberg, 1982 , p. 363.
↑ Kuhn, Thomas S. Werner Heisenberg - Sesiunea a VII -a . https://www.aip.org/ . Institutul American de Fizică (22 februarie 1963). Preluat la 25 mai 2022. Arhivat din original la 27 iulie 2021.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 36.
↑ Segre, Emilio. De la raze X la quarci: fizicienii moderni și descoperirile lor. - Dover Publications, 2007. - P. 153-157. — 352 p. — ISBN 0486457834 .
↑ Kragh, H. Dirac, Paul Adrien Maurice (1902–1984) // Oxford Dictionary of National Biography . — Oxford University Press, 2004.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Aitchison, Ian JR; MacManus, David A.; Snyder, Thomas M. Înțelegerea lucrării „magice” a lui Heisenberg din iulie 1925: O nouă privire asupra detaliilor de calcul // American Journal of Physics. - 2004. - T. 72 . - S. 1370 . - doi : 10.1119/1.1775243 . — arXiv : 0404009 .
↑ Heisenberg, W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen // Zeitschrift für Physik. - 1925. - Vol. 33, nr. 1 . - P. 879-893. Traducere rusă: Heisenberg, V. On the Quantum Theoretical Interpretation of Kinematic and Mechanical Relations // Advances in Physical Sciences . - Academia Rusă de Științe , 1977. - T. 122 , nr. 8 . - S. 574-586 . (Rusă)
↑ Razavy, 2011 , p. 39.
↑ 1 2 Razavy, 2011 , p. 40.
↑ 1 2 Razavy, 2011 , p. 41.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 23.
↑ 12 van der Waerden, 1968 , p. 24.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 25-27.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 27.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 28.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 29.
↑ van der Waerden, 1968 , p. treizeci.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 30-32.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 33-34.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 34.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 35.
↑ 1 2 Milantiev, 2009 , p. 148.
↑ 1 2 Milantiev, 2009 , p. 150.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 37.
↑ Despre mecanica cuantică // Surse de mecanică cuantică : [ ing. ] / BL van der Waerden. - Dover Publications, 1968. - P. 277-306 . - ISBN 0-486-61881-1 .
↑ Despre mecanica cuantică II // Surse de mecanică cuantică : [ ing. ] / BL van der Waerden. - Dover Publications, 1968. - P. 321-386 . - ISBN 0-486-61881-1 .
↑ Milantiev, 2009 , p. 153.
↑ Milantiev, 2009 , p. 154.

Literatură

Razavy, Mohsen. Mecanica cuantică a lui Heisenberg. - World Scientific Publishing Company, 2011. - 680 p. — ISBN 9814304107 .
Surse de mecanică cuantică : [ ing. ] / BL van der Waerden . - Dover Publications, 1968. - P. 277-306 . - ISBN 0-486-61881-1 .
Milantiev, Vladimir P. Istoria apariției mecanicii cuantice și dezvoltarea ideilor despre atom . - M . : Casa de carte " Librokom ", 2009. - S. 188 . — 248 p. - ISBN 978-5-397-00146-5 .
Mehra, Jagdish. Formularea mecanicii matriceale și modificările sale 1925–1926 / Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg. - Springer, 1982. - ISBN 0-387-90675-4 .

Link -uri

Traducere rusă: W. Heisenberg. Despre interpretarea teoretică cuantică a relațiilor cinematice și mecanice // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Academia Rusă de Științe , 1977. - T. 122 , nr. 8 . - S. 574-586 . (Rusă)