Metoda generalizată a momentelor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 5 martie 2017; verificarea necesită 1 editare .

Metoda generalizată a momentelor ( GMM ; engleză GMM - Generalized Method of Moments ) este o metodă utilizată în statistica matematică și econometrie pentru a estima parametrii necunoscuți ai distribuțiilor și modelelor econometrice, care este o generalizare a metodei clasice a momentelor . Metoda a fost propusă de Hansen în 1982. Spre deosebire de metoda clasică a momentelor, numărul de constrângeri poate fi mai mare decât numărul de parametri estimați.

Esența metodei

Fie distribuția unui vector aleatoriu x să depindă de un vector de parametri necunoscuți b (numărul de parametri este k ). Să fie și unele funcții g(x, b) (numărul lor q nu este mai mic decât numărul de parametri estimați), numite funcții moment (sau pur și simplu momente ), pentru care, din considerații teoretice, se presupune că

$m(b)=E[g(x,b)]=0.$

Ideea de bază a metodei momentelor este de a folosi, în condiții de moment, în locul așteptărilor matematice, analogii lor eșantion - mijloacele eșantionului

${\hat {m}}(b)=\overline {g(x,b)},$

care, conform legii numerelor mari, în condiții suficient de slabe, trebuie să convergă asimptotic către așteptările matematice. Deoarece numărul de condiții pentru momente în cazul general este mai mare decât numărul de parametri estimați, acest sistem de restricții nu are o soluție unică.

Metoda generalizată a momentelor (GMM) este o estimare care minimizează o formă pătratică definită pozitiv de la condițiile eșantionului la momentele în care mediile eșantionului sunt utilizate în loc de așteptările matematice:

${\hat {b}}_{{GMM}}=\arg \min _{{b}}{\hat {m}}(b)^{T}W{\hat {m}}(b),$

unde W este o matrice definită pozitivă simetrică.

Matricea de ponderi poate fi arbitrară (ținând cont de certitudinea pozitivă), dar s-a dovedit că că cele mai eficiente sunt estimările GMM cu o matrice de ponderi egală cu matricea de covarianță inversă a funcțiilor de moment . Acesta este așa-numitul GMM eficient . $W=V_{g}^{{-1}}$

Cu toate acestea, deoarece această matrice de covarianță nu este cunoscută în practică, se aplică o procedură în doi pași ( GMM în doi pași - Hansen, 1982):

Pasul 1. Parametrii modelului sunt estimați folosind GMM cu matrice de greutate unitară.

Pasul 2. Pe baza datelor eșantionului și a valorilor parametrilor găsite la primul pas, se estimează matricea de covarianță a funcțiilor de moment, iar estimarea rezultată este utilizată în GMM-ul efectiv. ${\hat {V}}_{g}=\overline {g(x,{\hat {b}})g(x,{\hat {b}})^{T}}$

Această procedură în două etape poate fi continuată ( GMM iterativă ): folosind estimările parametrilor modelului în a doua etapă, matricea de covarianță moment este din nou estimată și MGM efectiv este reaplicat, etc. în mod iterativ până când se obține acuratețea necesară.

De asemenea, este posibil să se abordeze minimizarea numerică a funcției obiectiv în raport cu parametrii necunoscuți . Astfel, atât parametrii, cât și matricea de covarianță sunt evaluate simultan. Acesta este așa-numitul GMM actualizat continuu (Hansen, Heaton, Yaron, 1996). ${\hat {m}}^{T}(b){\hat {V}}_{g}^{{-1}}(b){\hat {m}}(b)$ $b$

Proprietățile metodei

Estimările metodei generalizate a momentelor în condiții suficient de slabe sunt consistente, asimptotic normale, iar estimările MMG efective sunt, de asemenea, eficiente asimptotic. Se poate arăta că

{\sqrt {n}}({\hat b}_{{GMM}}-b){\xrightarrow {d}}N(0,V_{{b}}).

În general

$V_{{b}}=(G^{T}WG)^{{-1}}G^{T}WV_{g}WG(G^{T}WG)^{{-1}}$

unde G este așteptarea matricei primelor derivate ale lui g în raport cu parametrii. În cazul unui GMM eficient, formula pentru matricea de covarianță este foarte simplificată:

$V_{b}=G^{T}V_{g}^{{-1}}G.$

J-test

Când se utilizează GMM, un test important este constrângerile de supraidentificare (testul J) . Ipoteza nulă este că condițiile (restricțiile) asupra momentelor sunt valabile (adică ipotezele modelului sunt corecte). Alternativa este că se înșelează.

Statistica testului este egală cu valoarea funcției obiectiv GMM înmulțită cu numărul de observații. Cu ipoteza nulă

$J=n{\hat {m}}^{T}({\hat {b}}){\hat {V}}_{g}^{{-1}}{\hat {m}}({ \hat {b))))~{\xrightarrow {d}}~\chi ^{2}(qk).$

Astfel, dacă valorile statisticilor sunt mai mari decât valoarea critică a distribuției la un anumit nivel de semnificație , atunci restricțiile sunt respinse (modelul este inadecvat), în caz contrar modelul este recunoscut ca adecvat. $\chi ^{2}(qk)$

Vezi și

Literatură

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrie. Curs inițial. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .