Integrală energetică generalizată

Integrala energetică generalizată este integrala ecuațiilor Lagrange ale unui sistem mecanic holonomic în cazul unei funcții Lagrange independente de timp . Denumită și integrala Jacobi. Există întotdeauna dacă forțele sunt potențiale și funcția Lagrange nu depinde în mod explicit de timp [1] .

Formulare

Ecuații Lagrange pentru un sistem mecanic holonomic cu o funcție Lagrange independentă de timp

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m))))\right)-{\frac {\partial L }{\partial q_{{m))))=0$

au o integrală energetică generalizată [2] :

$h=\sum _{{m=1}}^{{s}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m}}}}{\dot {q} }_{{m}}-L$

Concluzie

Să considerăm un sistem holonomic cu grade de libertate cu funcția Lagrange $s$

$L=L(q_{m},{\dot {q))_{m},t)$ ,

in functie de coordonate generalizate , viteze generalizate si timp , aici si jos peste tot . $q_{m)$ ${\dot {q}}_{m}$ $t$ $m=1,2,...,s$

Diferențiând funcția în funcție de timp , obținem $L(q_{m},{\dot {q))_{m},t)$

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot { q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t))$ .

Din ecuațiile Lagrange

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m))))\right)-{\frac {\partial L }{\partial q_{{m))))=0$

urmează că

${\frac {\partial L}{\partial q_{m)}}={\frac {d}{dt)}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q }}_{m}}}\dreapta)$ .

Atunci obținem:

${\frac {\partial L}{\partial q_{m)}}{\dot {q))_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q)} _{m))}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_ {m}}}\right){\punct {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q} }_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}} _{m}\dreapta)$ .

Folosind aceasta, avem:

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot { q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q }}_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial t}}$

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m} )){\punct {q))_{m}-L\dreapta)+{\frac {\partial L}{\partial t))=0$ .

Dacă funcția Lagrange este în mod explicit independentă de timp, atunci ${\frac {\partial L}{\partial t)}=0$ ${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m} }}{\punct {q}}_{m}-L\right)=0$

Prin urmare:

$\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m} -L=h$

Această expresie se numește integrală energetică generalizată sau integrală Jacobi [2] .

Note

↑ Butenin, 1971 , p. 102.
↑ 1 2 Butenin, 1971 , p. 101.

Literatură

Butenin N.V. Introducere în mecanica analitică. - M. : Nauka, 1971. - 264 p.