Ecuații Lagrange de al doilea fel

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 aprilie 2016; verificările necesită 16 modificări .

Ecuațiile Lagrange de al doilea fel sunt ecuații diferențiale de mișcare ale unui sistem mecanic , obținute prin aplicarea formalismului lagrangian .

Tip de ecuații

Dacă un sistem mecanic holonomic este descris de un Lagrangian ( sunt coordonate generalizate , t este timpul , punctul denotă diferențierea în raport cu timpul) și doar forțele potențiale acționează în sistem , atunci ecuațiile Lagrange de al doilea fel au forma $L(q_{i},{\dot q}_{i},t)$ $q_{i}$

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i))}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0

unde i = 1, 2, … n ( n este numărul de grade de libertate ale sistemului mecanic). Lagrangianul este diferența dintre energiile cinetice și potențiale ale sistemului.

În prezența forțelor generalizate atât potențiale ( ) cât și nepotențiale ( ) , partea dreaptă apare: $Q_{i}^{p)$ $Q_{i}^{n)$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{n}

Forțele nepotențiale includ, de exemplu, forța de frecare . În acest caz, ecuațiile Lagrange de al doilea fel pot fi rescrise într-o formă ușor diferită:

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot q}_{i))}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}=Q_{i}

unde este energia cinetică a sistemului, este forța generalizată . $T(q_{i},{\dot q}_{i},t)$ $Q_{i}^{p}+Q_{i}^{n}=Q_{i}$

Derivarea ecuațiilor

Ecuațiile lui Lagrange în mecanică sunt obținute din legile lui Euler ale dinamicii (echilibrul momentului și momentului unghiular) sub anumite restricții asupra sistemului: numai constrângeri holonomice ideale trebuie să fie prezente în el. Acesta este un caz particular, deși foarte important, al sistemelor mecanice. Pentru alte cazuri, se obțin modificări ale ecuațiilor Lagrange [1] .

Dacă principiul celei mai mici acțiuni este relevant pentru sistemul luat în considerare (departe de toate sistemele fizice să se supună acestuia), concluzia poate fi trasă diferit. În mecanica lagrangiană , derivarea ecuațiilor se realizează pe baza acestui principiu, care afirmă că mișcările reale se deosebesc de toate mișcările imaginabile prin condiția ca funcționale

S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q_{i},{\dot q}_{i},t)dt

numită acțiune , ia o valoare extremă (pentru suficient de mică - minimă) pe traiectoria mișcării efective a sistemului ( și - momentele inițiale și finale de timp ) [2] . Aplicând schema de optimizare standard la funcționalitatea de acțiune, obținem pentru aceasta ecuațiile Lagrange-Euler , care se numesc ecuații Lagrange de al doilea fel pentru un sistem mecanic. Mai jos este derivarea ecuației pentru un sistem cu o coordonată și o viteză generalizate. $t_{2}-t_{1}$ $t_{1}$ $t_{2}$

Presupunem că variația la granițe este zero:

\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0

Schimbați acțiunea la tranziția de la stare la da $t_{1}$ $t_{2}$

\delta S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q+\delta q,{\dot q}+\delta {\dot q},t)dt-\ int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\dot q},t)dt

Extinderea acestei diferențe de puteri, obținem:

\delta S=\delta \int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\dot q},t)dt

Variind această expresie, obținem:

\int _{{t_{1))}^{{t_{2))}\left({\frac {\partial L}{\partial q))\delta q+{\frac {\partial L}{\ parțial {\dot q))}\delta {\dot q}\right)dt=0

Reținând că , integrăm al doilea termen pe părți: $\delta {\dot q}={\frac {d}{dt))\delta q$

\delta S={\frac {\partial L}{\partial {\dot q))}\delta q{\Bigl .}{\Bigr |}_{{t_{1))}^{{t_{2 }}}+\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt )){\frac {\partial L}{\partial {\dot q))}\right)\delta qdt=0

Primul termen este egal cu zero pe baza formulei de prima derivare. Al doilea termen poate fi egal cu zero numai dacă integrandul este egal cu zero. Astfel, obținem ecuația Lagrange dorită:

{\frac {d}{dt)}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q)}}) - {\frac {\partial L}{\partial q))=0

Vezi și

Ecuații Lagrange de primul fel

Note

↑ Butenin B.V. Introducere în mecanica analitică. - M .: Nauka, 1971. - Tiraj 25.000 exemplare. — pp. 56 - 59
↑ Medvedev B.V. Începuturile fizicii teoretice. Mecanica, teoria câmpului, elemente de mecanică cuantică. — M.: Fizmatlit, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 . - Tiraj 2.000 de exemplare. — S. 19 - 23