Grile reciproce

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 22 octombrie 2013; verificările necesită 13 modificări .

O rețea reciprocă este o rețea punctuală tridimensională într-un spațiu abstract reciproc, unde distanțele au dimensiunea lungimii reciproce. Conceptul de rețea reciprocă este convenabil pentru a descrie difracția razelor X , neutronilor și electronilor pe un cristal. Rețeaua reciprocă (spațiu reciproc, spațiu de impuls ) este transformata Fourier a unei rețele cristaline directe (spațiu direct).

Definiție

Fiecare structură cristalină corespunde a două rețele: o rețea cristalină și o rețea reciprocă. Este posibil să se definească vectorii rețelelor directe și reciproce . Un model de difracție este o hartă a rețelei reciproce a unui cristal, la fel cum o imagine microscopică este o hartă a structurii reale a unui cristal. Vectorii rețelei cristaline au dimensiunea lungimii, iar dimensiunea vectorilor rețelei reciproce este [lungime] −1 . Grila cristalină este o grilă în spațiul obișnuit, real; rețeaua reciprocă este o rețea în spațiul Fourier . $\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}}$ $\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}}$

În cristalografie, rețeaua reciprocă constă dintr-un set de vectori K astfel încât

e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1

pentru toți vectorii R care indică poziția nodurilor rețelei cristaline.

Pentru o rețea tridimensională infinită caracterizată prin vectori de bază , rețeaua sa reciprocă este dată de un triplu de vectori de bază ai rețelei reciproce , raportați la vectorii de bază ai rețelei directe prin relație și calculate prin formule $(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )$ $(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}} )$ $\mathbf {a_{j}} \cdot \mathbf {b_{k}} =\mathbf {b_{k}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{jk} =\left\{{\begin{matrix}2\pi ,&j=k\\0,&j\neq k\end{matrix}}\right.$

{\mathbf {b_{{1}}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{2}}}}\times {\mathbf {a_{{3}}}}}{{\ mathbf {a_{{1}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{2}}}}\times {\mathbf {a_{{3}}}})}}

{\mathbf {b_{{2}}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{3}}}}\times {\mathbf {a_{{1}}}}}{{\ mathbf {a_{{2}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{3}}}\times {\mathbf {a_{{1}}}})}}

{\mathbf {b_{{3}}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{1}}}}\times {\mathbf {a_{{2}}}}}{{\ mathbf {a_{{3}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{1}}}}\times {\mathbf {a_{{2}}}})}}

Definiția de mai sus se numește definiție fizică , deoarece factorul 2π apare în mod natural din studiul structurilor periodice. O definiție cristalografică echivalentă apare dacă vectorii rețelei reciproce se supun următoarei relații , care modifică formulele pentru găsirea vectorilor rețelei reciproce: $e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1$

\mathbf {b_{1}} ={\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf { a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}

și în mod similar pentru alți vectori. Definiţia cristalografică este avantajoasă prin aceea că se defineşte drept reciproca direcţiei , fără factorul 2π . Poate simplifica anumite manipulări matematice și exprimă măsurătorile reciproce ale rețelei în unități de frecvență spațială. Este o chestiune de comoditate ce definiție a vectorilor de rețea reciprocă să folosiți, fără a le amesteca, desigur. $\mathbf {b_{1}}$ $\mathbf {a_{1}}$ $\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}}$

Cu alte cuvinte, fiecare sistem de plane poate fi complet specificat de vectorul reticulat b , care este perpendicular pe planuri și este egal ca mărime cu b = 2 π/d , unde d este distanța interplanară. Aceasta poate fi considerată ca fiind definiția vectorilor de rețea reciprocă.

Definiția cristalografică a unei baze în algebra vectorială se numește bază reciprocă și este folosită pentru a demonstra unele afirmații legate de unghiurile dintre vectori și produsul mixt [1] :212-214 .

Rețeaua reciprocă este utilizată pentru determinarea indicilor planului . Orice plan cristalografic corespunde unui set de vectori rețelei reciproci, în timp ce coeficienții de expansiune ai celui mai scurt vector din vectorii unitari rețelei reciproce sunt indicii planului.

Note

↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Algebră vectorială în exemple și probleme . - M . : Şcoala superioară , 1985. - 232 p.

Surse

Sirotin Yu. I., Shaskolskaya MP Fundamentele fizicii cristalelor. — M .: Nauka, 1979. — 640 p.