Operator restricționat

Un operator se numește mărginit dacă mapează fiecare set mărginit al spațiului vectorial topologic original la o mulțime mărginită a spațiului vectorial topologic . [unu] $A:X\la Y$ $X$ $Y$

Definiția de mai sus se aplică atât operatorilor liniari , cât și neliniari .

Operator liniar mărginit

Definiții

Pentru un operator liniar , sunt adesea date alte definiții: [1]

Vom numi un operator liniar mărginit dacă există o vecinătate de zero care este o mulțime mărginită în . $A:X\la Y$ $U$ $A(U)$ $Y$
Vom numi un operator liniar într-un spațiu normat mărginit dacă există un număr pozitiv astfel încât . Cel mai mic dintre aceste numere este notat cu și se numește norma operatorului . Cu alte cuvinte, $A:X\la Y$ $C$ $\|Topor\| \le C\|x\|$ $C$ $\|A\|$ $A$

\|A\|=\up _{\|x\|=1}{\|Ax\|}

Proprietăți în spații F

Observație: spațiul Banach este un caz special al spațiului F.

Teorema este adevărată că un operator liniar mărginit care acționează dintr -un spațiu F în altul este continuu . [2]
În schimb ( teorema lui Banach ), fiecare operator continuu este mărginit. [1] [2]

Prin urmare, pentru proprietăți suplimentare ale unor astfel de operatori, consultați articolul Operator liniar continuu .

Literatură

↑ 1 2 3 Enciclopedia matematică / Vinogradov I.M. . - M . : Sov. enciclopedie , 1977 . - T. 3.
↑ 1 2 Dunford N., Schwartz J. Operatori liniari. — M .: IL , 1962 . — T. 1. Teoria generală. - S. 66-67.