Oscilații Zener-Bloch

Oscilațiile Zener-Bloch sunt oscilații ale unei particule care se mișcă într-un potențial periodic sub acțiunea unei forțe constante. Un exemplu de sistem în care pot apărea astfel de vibrații este un solid cristalin. În cristalele reale, este dificil să se creeze condiții pentru observarea oscilațiilor Zener-Bloch, dar acestea au fost observate în sisteme artificiale, de exemplu, superrețele .

Clarence Zener [1] a considerat astfel de oscilații pentru electronii de cristal într-un câmp electric extern. Felix Bloch a generalizat teoria la cazul oricăror particule și forțe.

Considerare semiclasică

Dacă neglijăm tranzițiile interbande ale electronilor în prezența unui câmp electric extern , atunci deplasarea unui electron în spațiul k este complet determinată de a doua lege a lui Newton: $\mathbf {E}$

\hbar \;{\frac {dk}{dt}}=-e\mathbf {E}

Unde este sarcina elementară (în aceste notații, sarcina unui electron este egală cu C). În absența coliziunilor, electronul trece prin întreaga primă zonă Brillouin , este reflectat de granița sa, traversează din nou zona și este din nou reflectat la graniță. Ca urmare, o astfel de mișcare a unui electron în bandă sub acțiunea unui câmp electric constant are caracterul de oscilații în spațiu și, prin urmare, în spațiul obișnuit. Aceste oscilații se numesc oscilații Zener (un caz parțial al unui câmp electric) și oscilații Bloch (un caz general al unui câmp potențial de orice natură). $e$ $-e=-1,6\cdot 10^{-19)$ $\mathbf {k}$

Fie că câmpul este direcționat de-a lungul vectorului rețelei reciproce , care determină poziția limitei zonei Brillouin care reflectă electronii. Într-o oscilație, un electron parcurge o distanță . Dacă , unde este constanta rețelei, atunci frecvența ciclică este egală cu: $\mathbf {E}$ ${\mathbf {K}}$ $K$ $K={\frac {2\pi }{a}}$ $A$

\omega _{z}={\frac {eEa}{\hbar \;}}

Deoarece A, pentru câmpul V/m , frecvența este de aproximativ Hz. Oscilațiile sunt limitate în spațiu. Într-o astfel de situație, potențialul de perturbare modifică nivelurile de energie din zonă. Iar stările, a căror energie diferă cu o valoare , modifică energiile de-a lungul marginilor zonei. Energiile egale creează așa-numitul. scara Stark, numită așa pentru că apariția ei seamănă cu efectul Stark din fizica atomică. Este clar că amplitudinea oscilațiilor spațiale este determinată de lățimea zonei : $a\aprox \;3$ $2\cdot 10^{6}$ $10^{13}$ $e\mathbf {E} \mathbf {r}$ $eEa$ $L_{z}$ $W_{b)$

L_{z}={\frac {W_{b}}{2eE}}

Deoarece există o stare pe unitate de celulă, numărul total de oscilații rămâne același, dar intervalele dintre nivelurile de energie adiacente rămân finite și identice.

Teoria cuantică [2]

Funcția de undă a unui electron în starea Zener-Bloch diferă în mod evident de o undă care călătorește, deoarece nu mai este un număr cuantic bun. Considerând potențialul aplicat ca o perturbare, găsim: $\mathbf {k}$

{\big (}H_{0}^{*}-e\mathbf {E} \cdot \mathbf {r} {\big )}\psi _{z}=E_{z}\psi _{ z}

\psi _{z}=V^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\phi _{ k}(\mathbf {r} )

unde sunt funcțiile benzii Bloch, . Teoria perturbaţiei dă $\psi _{k}(\mathbf {r} )$ ${\hat {H}}_{0}^{*}=p^{2}/2m^{*}$

c_{k'}=\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;{\frac {c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-eE\mathbf { r} |\mathbf {k} \right\rangle }{W_{z}-W_{k'}}}

Elementul matricei este cel mai convenabil calculat luând în considerare

\mathbf {r} \exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )=-i\nabla _{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )

Trecerea de la însumare la integrare folosind relația $\mathbf {k}$

\sum _{\mathbf {k} }\;\to \int _{}^{}{\frac {V}{8\pi ^{3}}}\,d\mathbf {k}

și integrând pe părți, folosind proprietatea de ortogonalitate a undelor plane, obținem:

\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-e\mathbf {E} \mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle =-e\mathbf {E} \Delta _{k}c_{k}\delta _{kk'}

unde găsim derivatele

{\frac {dc_{k}}{d\mathbf {k} }}={\frac {i(W_{z}-W_{k})c_{k}}{eE}}

c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace \int _{}^{}{\frac {i(W_{z}-W_{k})}{eE}}\,d \mathbf {k} \right\rbrace

Pentru ca funcția de undă să fie periodică, funcția trebuie să fie periodică. Dacă punem $c_{k}$

W_{k}=W_{0}+W(\mathbf {k}),

unde este energia centrului benzii, atunci condiția de periodicitate implică egalitatea energiilor $W_{k}=W_{0)$

W_{z}-W_{0}=e\mathbf {E} n'(\mathbf {a}),

unde este un număr întreg și este un vector de celulă unitară. Ca urmare, starea căreia îi corespunde valoarea proprie este localizată în spațiul celulei elementare situate în punctul , de unde, presupunând , găsim $n'$ ${\mathbf {a}}$ $W_{z)$ $n'\mathbf {a}$ $n'\mathbf {a} =\mathbf {r}$

c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace -i{\big (}\mathbf {k} \mathbf {r_{0}} \int _{}^{}{\frac { iW_{k}}{eE}}\,d\mathbf {k} {\big )}\right\rbrace

Funcțiile de undă Bloch iau aici forma

\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;u_{k}(\mathbf {r}) \exp \left\lbrace i\int _{}^{}{\frac {W(\mathbf {k} )}{eE}}\,d\mathbf {k} -i\mathbf {k} (\mathbf {r_{0}-r} )\dreapta\rbrace .

Acum puteți folosi un model simplu care descrie zona în direcția câmpului : $\mathbf {E}$

W\mathbf {k} =-{\frac {W_{b}}{2}}\cos ka

-{\frac {\pi }{a}}<k<{\frac {\pi }{a)),

unde este lățimea zonei. În plus, presupunem că funcția lui . Apoi $W_{b)$ $u_{k}(\mathbf {r} )$ $\mathbf {k}$

\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}u(\mathbf {r} )\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;\exp \ stânga\lbrace -{\frac {iW_{b}\sin {ka}}{2eEa}}-i\mathbf {k} \mathbf {r_{0}-r} \right\rbrace =

=c_{0}u(\mathbf {r})J_{n}({\frac {W_{b}}{2eEa}}),\quad n=(x_{0}-x)/a ,

unde este funcția Bessel, este un număr întreg și câmpul este direcționat de-a lungul axei . În punctul , funcția se comportă ca o undă staționară cu un vector de undă de mărime , adică lungimea vectorului de undă este egală cu jumătate din distanța de la centrul zonei Brillouin la limita sa. Când , expansiunea asimptotică dă $J_{n}(z)$ $n$ $X$ $x = x_0$ $J_{n}(z)$ $\pi /2a$ $|x_{0}-x|\gg \,a$

J_{n}\left({\frac {W_{b}}{2eEa}}\right)\aprox \;{\frac {(-1)^{|x_{0}-x|/a }}{(2\pi |x_{0}-x|/a)^{1/2}}}\left({\frac {e_{n}L_{z}}{2|x_{0}- x|}}\right)^{|x_{0}-x|/a}

unde este amplitudinea clasică a oscilațiilor spațiale și este baza logaritmilor naturali. Este clar că la , funcția de undă scade foarte repede. Descrește la , atingând un maxim în punctul . Comportamentul acestei funcții de undă seamănă calitativ cu comportamentul unui oscilator armonic - crește la capetele segmentului, corespunzător punctelor de cotitură clasice. Pentru a observa acest fenomen este necesar să se îndeplinească condițiile $L_{z}$ $e_{n}$ $|x_{0}-x|>e_{n}L_{z}/2$ $|x_{0}-x|\rightarrow 0$ $|x_{0}-x|=L_{z}/2$

\omega _{z}\tau >1,

unde este timpul dintre ciocniri. De obicei, cronometrarea este efectuată pentru stările apropiate de marginile zonei. Valorile tipice sunt de aprox . Ca rezultat, electronul care efectuează oscilațiile Zener-Bloch de cele mai multe ori este situat în apropierea marginilor benzii și, prin urmare, este rezonabil să luăm o estimare a timpului de aproximativ . În acest scop este necesar să se creeze câmpuri care depășesc V/m. În multe cazuri, un câmp atât de puternic poate duce la defectarea semiconductorului. $\tau$ $\tau$ $\tau$ $10^{{-13}}$ $10^{{-13}}$ $2\cdot 10^{6}$

Note de subsol

↑ Clarence Zener. Teoria defalcării electrice a dielectricilor solizi // Proc. Roy. soc. A .. - 1934. - T. 145 . - S. 523 - 529 . - doi : 10.1098/rspa.1934.0116 .
↑ Ridley B. Procese cuantice în semiconductori / Per. din engleza. I. P. Zviagin, A. G. Mironov. — M .: Mir, 1986. — 304 p.

Oscilații Zener-Bloch

Considerare semiclasică

Teoria cuantică [2]

Note de subsol

Vezi și