Paradoxul lui Klein în grafen

Paradoxul lui Klein în grafen este trecerea oricăror potențiale bariere fără retroîmprăștiere în unghi drept. Efectul se datorează faptului că spectrul purtătorilor de curent în grafen este liniar și cvasiparticulele respectă ecuația Dirac pentru grafen. Efectul a fost prezis teoretic în 2006 [1] pentru o barieră dreptunghiulară.

Teorie

Cvasiparticulele din grafen sunt descrise de un hamiltonian bidimensional pentru particulele de Dirac fără masă

{\hat {H}}=-i\hbar v_{F}\sigma \cdot \nabla ,

unde este constanta Planck împărțită la 2 π, este viteza Fermi, este vectorul rămas din matricele Pauli , este operatorul nabla . Să existe o barieră potențială cu înălțime și lățime și să fie energia particulelor incidente . Apoi, din soluția ecuației lui Dirac pentru regiunile din stânga barierei (indice I), în bariera propriu-zisă (II) și în dreapta barierei (III), acestea se vor scrie sub formă de plan. unde ca pentru particulele libere : $\hbar$ $v_{F}$ $\sigma =(\sigma _{x},\sigma _{y})$ $\nabla =(\nabla _{x},\nabla _{y})$ $V_{0}$ $D$ $E$

\psi _{I}({\mathbf {r}})={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{{i\phi }} \end{pmatrix}}e^{{i(k_{x}x+k_{y}y)}}+{\frac {r}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1 \\se^{{i(\pi -\phi )}}\end{pmatrix}}e^{{i(-k_{x}x+k_{y}y)}},

\psi _{{II}}({\mathbf {r}})={\frac {a}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\s'e^{{i \theta }}\end{pmatrix}}e^{{i(q_{x}x+k_{y}y)}}+{\frac {b}{{\sqrt {2}}}}{\begin {pmatrix}1\\s'e^{{i(\pi -\theta )}}\end{pmatrix}}e^{{i(-q_{x}x+k_{y}y)}},

\psi _{{III}}({\mathbf {r}})={\frac {t}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{{i\phi }}\end{pmatrix}}e^{{i(k_{x}x+k_{y}y)}},

unde sunt acceptate următoarele denumiri pentru unghiurile , , și vectorii de undă în regiunile I-a și III-a , și în regiunea a II-a de sub barieră , semnele următoarelor expresii și . Coeficienții necunoscuți , amplitudinile undelor reflectate și, respectiv, transmise, se găsesc din continuitatea funcției de undă la limitele potențialului. $\phi =\arctan {(k_{y}/k_{x})}$ $\theta =\arctan {(k_{y}/q_{x})}$ $k_{x}=k_{F}\cos {\phi }$ $k_{y}=k_{F}\sin {\phi}$ $q_{x}={\sqrt {(V_{0}-E)^{2}/\hbar ^{2}v_{F}^{2}-k_{y}^{2))}$ $s={\mathrm {semn}}(E)$ $s'={\mathrm {semn}}(E-V_{0})$ $r$ $t$

Pentru coeficientul de transmisie în funcție de unghiul de incidență al particulei s-a obținut următoarea expresie [2]

T(\phi )={\frac {\cos ^{2}{\theta }\cos ^{2}{\phi }}{[\cos {(Dq_{x})}\cos {\phi }\ cos {\theta }]^{2}+\sin ^{2}{(Dq_{x})[1-ss^{{'}}\sin {\phi }\sin {\theta }]^{2 }}}}.

Figura din dreapta arată cum se modifică coeficientul de transmisie în funcție de lățimea barierei. Se arată că transparența maximă a barierei este întotdeauna observată la unghi zero, iar rezonanțe sunt posibile la unele unghiuri.

Note

↑ Katsnelson M.I. , et. al. „Tuneling chiral and the Klein paradox in graphene” Nature Physics 2 , 620 (2006) doi : 10.1038/nphys384 Preprint Arhivat la 12 iulie 2015 la Wayback Machine
↑ Castro Neto AH cond-mat Arhivat 12 iulie 2015 la Wayback Machine