Matrice Pauli

Matricele Pauli sunt un set de trei matrici hermitiene și simultan unitare 2×2 , constituind o bază în spațiul tuturor matricelor hermitiene 2×2 cu urmă zero . Au fost propuse de Wolfgang Pauli pentru a descrie spinul unui electron în mecanica cuantică . Matricele arată ca

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}),

\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}),

\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

În schimb , uneori se folosește notația și . $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3)$ $\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z)$ $X,Y,Z$

Adesea folosită și matrice

\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}),

care coincide cu matricea identitară , care este uneori denumită . $eu$ $E$

Matricele Pauli, împreună cu matricea , formează o bază în spațiul tuturor matricelor hermitiene 2×2 (nu doar matricelor cu urmă zero). $\sigma _{0}$

Proprietăți

Raporturi de bază

Ermititatea : $\sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i};$
Urmă egală cu zero : $\operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad \ i=1,2,3$
$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}^{2}=I,$ unde este o matrice de identitate 2×2 . $I=\sigma _{0}$
Unitate : $\sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}^{-1}=\sigma _{i)$
Determinantul matricelor Pauli este −1.
Algebra generată de elemente este izomorfă cu algebra cuaterniilor . $\sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z)$ $\langle 1,i,j,k\rangle$

Reguli de înmulțire a matricei Pauli

\sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},

\sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},

\sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},

\sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i)

pentru

i\neq j.

Aceste reguli de înmulțire pot fi rescrise într-o formă compactă

\sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot \sigma _{0},\quad i,j ,k=1,2,3

unde este simbolul Kronecker și ε ijk este simbolul Levi-Civita . $\delta _{{ij}}$

Din aceste reguli de înmulțire rezultă relațiile de comutație

{\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matrix}}

Parantezele pătrate înseamnă comutator , parantezele înseamnă anticomutator .

De asemenea, identitățile Firtz sunt valabile pentru matricele Pauli .

Legătura cu algebrele Lie

Relațiile de comutație ale matricelor coincid cu relațiile de comutație ale generatorilor algebrei Lie su(2). Într-adevăr, toată această algebră, constând din matrici anti-hermitiene 2×2, poate fi construită din combinații liniare arbitrare de matrici . în special, aceasta explică importanța matricelor Pauli pentru fizică. $i\sigma _{k)$ $i\sigma _{k}\;.$

Aplicații în fizică

În mecanica cuantică , matricele sunt generatoare de rotații infinitezimale pentru particule nerelativiste cu spin ½. Elementele matricei operatorului de spin pentru particulele cu spin semiîntreg sunt exprimate în termenii matricilor Pauli [1] ca $i\sigma _{j}/2$

$(s_{x})_{\sigma ,\sigma -1}=(s_{x})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {1}{2)}{\sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}$

$(s_{y})_{\sigma ,\sigma -1}=-(s_{y})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {-i}{2}}{ \sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}$

$(s_{z})_{\sigma \sigma }=\sigma$

Vectorul de stare al unor astfel de particule este un spinor bicomponent [2] . Spinii bicomponenti formează spațiul reprezentării fundamentale a grupului SU(2).

Vezi și

Identități Firtz

Note

↑ Landau, L. D. , Lifshitz, E. M. § 55. Spin operator // Mecanica cuantică (teoria nonrelativista). — Ediția a 5-a. — M .: Fizmatlit , 2001. — S. 258. — 808 p. - ( Fizica teoretică , Volumul III). — ISBN 5-9221-0057-2 .
↑ Landau, L. D. , Lifshitz, E. M. § 56. Spinors // Mecanica cuantică (teoria nonrelativista). — Ediția a 5-a. — M .: Fizmatlit , 2001. — S. 258. — 808 p. - ( Fizica teoretică , Volumul III). — ISBN 5-9221-0057-2 .

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecanica cuantică (teorie non-relativista). — Ediția a IV-a. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul III). - ISBN 5-02-014421-5 .