Paradoxul lui Cramer

Paradoxul lui Cramer sau paradoxul lui Euler-Cramer [1] este afirmația că numărul de puncte de intersecție a două curbe de ordin înalt dintr-un plan poate fi mai mare decât numărul de puncte arbitrare care sunt de obicei necesare pentru a determina în mod unic fiecare astfel de curbă. Paradoxul este numit după matematicianul genevan Gabriel Cramer .

Paradoxul este rezultatul unei înțelegeri naive a două teoreme:

Rețineți că pentru toate , deci pare naiv că pentru puteri de trei și mai mari, ar putea exista suficiente puncte de intersecție a două curbe pentru a defini în mod unic ambele curbe.

Problema este că în unele cazuri degenerate, n ( n + 3) / 2 puncte nu este suficient pentru a defini curba în mod unic.

Istorie

Paradoxul a fost publicat pentru prima dată de Maclaurin [2] [3] . Cramer și Euler au corespondat despre paradox în 1744-1745, iar Euler ia explicat problema lui Cramer [4] . Problema a ajuns să fie numită paradoxul lui Cramer după publicarea lui Cramer din 1750 a Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques , deși Cramer a indicat pe Maclaurin ca sursă a revendicării [5] . Aproximativ în același timp, Euler a publicat exemple care arată că o curbă cubică poate să nu fie definită în mod unic de 9 puncte [4] [6] și a discutat problema în cartea sa Introductio in analysin infinitorum . Rezultatul a fost publicat de James Stirling și explicat de Julius Plücker [1] .

Fără paradox pentru secțiunile conice drepte și nedegenerate

Pentru curbele de ordinul întâi (adică linii drepte ), paradoxul nu apare, deoarece n \u003d 1, deci n 2 \u003d 1 < n ( n + 3) / 2 \u003d 2. În general, două diferite liniile L 1 și L 2 se intersectează într-un punct P , cu excepția cazului în care dreptele au aceeași pantă, caz în care liniile nu se intersectează deloc. Un punct nu este suficient pentru a defini în mod unic o linie dreaptă (sunt necesare două). Nu două, ci infinit multe drepte trec prin punctul P.

În mod similar, două secțiuni conice nedegenerate se intersectează la maximum 4 puncte de capăt și sunt necesare 5 puncte pentru a defini în mod unic o curbă nedegenerată.

Exemplul lui Cramer pentru curbele cubice

Într-o scrisoare către Euler, Cramer a subliniat că curbele cubice și se intersectează în exact 9 puncte (fiecare ecuație reprezintă un set de trei linii paralele și respectiv). Rezultă că aceste 9 puncte nu sunt suficiente pentru o definiție unică a unei curbe cubice, astfel încât, cel puțin în cazul degenerat, afirmația este valabilă.

Note

  1. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. „Paradoxul Cramér-Euler”. De la MathWorld--O resursă web Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Cramer-EulerParadox.html Arhivat 3 februarie 2018 la Wayback Machine
  2. ↑ Maclaurin, 1720 .
  3. ↑ Tweedie, 1891 , p. 87–150.
  4. ↑ 1 2 Struik, 1969 , p. 182.
  5. ↑ Tweedie, 1915 , p. 133–151.
  6. ↑ Euler, 1750 , p. 219-233.

Literatură

Link -uri