Drept

Linia dreaptă este unul dintre conceptele fundamentale ale geometriei euclidiene . Într-o prezentare sistematică a geometriei, liniile drepte sunt de obicei luate ca unul dintre conceptele originale ( indefinibile ) [1] , proprietățile lor și legătura cu alte concepte (de exemplu, puncte și plane ) sunt determinate de axiomele geometriei [2] .

Linia dreaptă, împreună cu cercul , este una dintre cele mai vechi figuri geometrice. Geometrii antici au considerat aceste două curbe ca fiind „perfecte” și, prin urmare, au recunoscut doar construcțiile cu busolă și drepte . Euclid a descris o linie drept „lungime fără lățime”, care „se află în mod egal pe toate punctele sale” [3] .

Analogii de linii pot fi, de asemenea, definiți în unele tipuri de spații non-euclidiene. Dacă baza pentru construirea geometriei este conceptul de distanță dintre două puncte din spațiu, atunci un segment de linie dreaptă poate fi definit ca cea mai scurtă curbă care leagă aceste puncte. De exemplu, în geometria riemanniană , rolul liniilor drepte este jucat de geodezice , care sunt cele mai scurte linii; pe sferă, arcele de cercuri mari sunt cele mai scurte arce [4] .

Proprietățile unei drepte în geometria euclidiană

Secțiunile unei linii drepte mărginite de două dintre punctele sale se numesc segmente .

Există infinit de linii care pot fi trase prin orice punct .
Prin oricare două puncte necoincidente , există o singură linie dreaptă.
Două drepte necoincidente în plan fie se intersectează într-un singur punct [5] , fie sunt paralele (urmează din precedentul).
În spațiul tridimensional, există trei opțiuni pentru poziția relativă a două linii non-coincidente:
- liniile se intersectează;
- liniile drepte sunt paralele ;
- linii drepte se intersectează .
O linie dreaptă este o curbă algebrică de ordinul întâi : într-un sistem de coordonate carteziene, o linie dreaptă este definită pe un plan printr-o ecuație de gradul întâi ( ecuație liniară ).

Ecuațiile unei drepte într-un plan

Ecuația generală a unei linii drepte

Ecuația generală a unei drepte într-un plan în coordonate carteziene este :

Ax+By+C=0,

unde și sunt constante arbitrare, iar constantele și nu sunt egale cu zero în același timp. $A,B$ $C$ $A$ $B$

La , linia este paralelă cu axa , la , este paralelă cu axa . $A=0$ $Bou$ $B=0$ $Oi$

Un vector cu coordonate se numește vector normal, este perpendicular pe dreapta. $(A, B)$

La , linia trece prin originea coordonatelor . $C=0$

Ecuația poate fi rescrisă și ca

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.

Ecuația unei drepte cu pantă

Ecuația unei drepte care intersectează axa într-un punct și formează un unghi cu direcția pozitivă a axei : $Oi$ $(0,\;b)$ $\varphi$ $Bou$

y=kx+b,\quad k={\mathrm {tg}}\,\varphi .

Coeficientul se numește panta dreptei. $k$

În această formă, este imposibil să se reprezinte o linie dreaptă paralelă cu axa (Uneori, în acest caz, se spune în mod formal că panta „se duce la infinit”.) $Oh.$

Ecuația unei drepte în segmente

Ecuația unei drepte care intersectează o axă într-un punct și o axă într-un punct : $Bou$ $(a,\;0)$ $Oi$ $(0,\;b)$

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).

În această formă, este imposibil să se reprezinte o linie dreaptă care trece prin origine.

Ecuația normală a unei linii drepte

x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,

unde este lungimea perpendicularei coborâte pe linia de la origine și este unghiul (măsurat în direcția pozitivă) dintre direcția pozitivă a axei și direcția acestei perpendiculare. Dacă , atunci linia trece prin origine, iar unghiul specifică unghiul de înclinare al liniei. $p$ $\theta$ $Bou$ $p=0$ $\theta =\varphi +{\frac {\pi }{2))$

Derivarea ecuației normale a unei drepte

Să se dea o dreaptă Apoi și Să considerăm ortul ei pentru această perpendiculară Să presupunem că unghiul dintre și axa este De atunci putem scrie: Acum considerăm un punct arbitrar Să desenăm vectorul rază Acum găsim proiecția pe vector Prin urmare, Aceasta este ecuația normală a dreptei. ■ $L.$ $OP\perp L$ $|\overrightarrow {OP}|=p.$ $\overrightarrow {e_{p}},|\overrightarrow {e_{p}}|=1.$ $|\overrightarrow {e_{p}}|$ $Bou$ $\theta .$ $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ $\overrightarrow {e_{p}}=(\cos \theta ;\sin \theta ).$ $M(x,y).$ $\overrightarrow {OM}=(x,y).$ $\overrightarrow {OM}$ $\overrightarrow {e_{p}}.$ $(\overrightarrow {e_{p}},\overrightarrow {OM})=x\cos \theta +y\sin \theta =p.$ $x\cos \theta +y\sin \theta -p=0.$

Dacă linia dreaptă este dată de ecuația generală, atunci segmentele și segmentele tăiate de aceasta pe axe, coeficientul unghiular este distanța dreptei de la originea coordonatelor și sunt exprimate în termeni de coeficienți și după cum urmează: $Ax+By+C=0,$ $A$ $b,$ $k,$ $p,$ $\cos \theta$ $\sin \theta$ $A$ $B$ $C$

a=-{\frac {C}{A)),\quad b=-{\frac {C}{B)),\quad k={\mathrm {tg))\,\varphi =-{\frac {A}{B)),\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2)),

p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2))))},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}} }}.

Pentru a evita incertitudinea, semnul din fața radicalului este ales astfel încât să fie îndeplinită condiția .În acest caz, și sunt cosinusurile direcției normalei pozitive a dreptei - perpendiculara a scăzut de la origine la dreapta. Dacă atunci linia trece prin origine și alegerea direcției pozitive este arbitrară. $p>0.$ $\cos \theta$ $\sin \theta$ $C=0,$

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date necoincidente

Dacă sunt date două puncte necoincidente cu coordonatele și , atunci linia dreaptă care trece prin ele este dată de ecuație $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0

{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

sau în general

\left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{ 1}\dreapta)=0.

Ecuația parametrică vectorială a unei linii drepte

Ecuația parametrică vectorială a unei drepte este dată de un vector al cărui capăt se află pe linia dreaptă și de vectorul de direcție al dreptei .Parametrul rulează prin toate valorile reale. ${\vec {r}}_{0},$ ${\vec {u}}.$ $t$

{\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.

Ecuații parametrice ale unei linii drepte

Ecuațiile parametrice ale unei linii drepte pot fi scrise astfel:

{\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases))

unde este un parametru arbitrar, sunt coordonatele și vectorul de direcție al dreptei. în care $t$ $a_{x},\;a_{y}$ $X$ $y$

k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y} )),\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},

p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}} )),\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2))))},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.

Semnificația parametrului este similară cu parametrul din ecuația vector-parametrică. $t$

Ecuația canonică a unei linii drepte

Ecuația canonică se obține din ecuații parametrice prin împărțirea unei ecuații la alta:

Concluzie

{\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t\\y=y_{0}+a_{y}t\end{cases))

{\begin{cases}x-x_{0}=a_{x}t\\y-y_{0}=a_{y}t\end{cases))

{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}

{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}} {a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}

unde sunt coordonatele atât vectorului de direcție al dreptei cât și coordonatele unui punct aparținând dreptei. $a_{x},a_{y}$ $X$ $y$ $x_{0}$ $y_0$

Ecuația unei drepte în coordonate polare

Ecuația unei drepte în coordonate polare și : $\rho$ $\varphi$

\rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0

\rho \cos(\varphi -\theta)=p.

Ecuația tangențială a unei drepte

Ecuația tangențială a unei drepte pe un plan:

\xi x+\eta y=1.

Numerele și sunt numite coordonatele sale tangențiale , liniare sau Plücker . $\xi$ $\eta$

Ecuațiile unei linii drepte în spațiu

Ecuația parametrică vectorială a unei linii drepte în spațiu:

{\vec r}={\vec {r}}_{0}+t{\vec a},\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),

unde este vectorul rază a unui punct fix situat pe linie, este un vector coliniar nenul cu această linie (numit vectorul său de direcție), este vectorul rază a unui punct arbitrar pe linie. ${\vec {r}}_{0}$ $M_{0},$ $\vec a$ ${\vec {r))$

Ecuații parametrice ale unei linii drepte în spațiu:

x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+ \infty ),

unde sunt coordonatele unui punct fix situat pe linie; sunt coordonatele vectorului coliniar acestei linii. $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ $M_{0},$ $(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )$

Ecuația canonică a unei drepte în spațiu:

{\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }} ,

unde sunt coordonatele unui punct fix situat pe linie; sunt coordonatele vectorului coliniar acestei linii. $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ $M_{0},$ $(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )$

Ecuația vectorială generală a unei linii drepte[ clarifica ] în spațiu:

Deoarece o linie dreaptă este intersecția a două plane diferite , dată respectiv de ecuațiile generale :

({\vec r},\;{\vec N}_{1})+D_{1}=0

și

({\vec r},\;{\vec N}_{2})+D_{2}=0,

atunci ecuația unei linii drepte poate fi dată printr-un sistem de ecuații:

{\begin{cases}({\vec r},\;{\vec N}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec r},\;{\vec N}_ {2})+D_{2}=0.\end{cases}}

Ecuația vectorială a unei linii drepte în spațiu [6] :196-199 :

Ecuația unei drepte în spațiu poate fi scrisă ca produs vectorial al vectorului-rază al unui punct arbitrar al acestei drepte și un vector de direcție fix al dreptei :

{\vec {r))

\vec a

[{\vec r},{\vec a}]={\vec M},

unde vectorul fix , ortogonal cu vectorul , poate fi găsit prin înlocuirea vectorului cu rază a oricărui punct cunoscut al dreptei în această ecuație. $\vec M$ $\vec a$

Dispunerea reciprocă a punctelor și liniilor pe plan

Trei puncte și se află pe aceeași linie dacă și numai dacă condiția $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$ $(x_{3},\;y_{3})$

{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.

Abaterea unui punct de la o linie dreaptă poate fi găsită prin formula $(x_1,\;y_1)$ $Ax+By+C=0$

\delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2))))},

unde semnul dinaintea radicalului este opus semnului Abaterea Modulo este egală cu distanța dintre punct și linie ; este pozitivă dacă punctul și originea se află pe părți opuse ale dreptei și negativă dacă sunt de aceeași parte. $C.$

În spațiu, distanța de la un punct la o dreaptă dată de o ecuație parametrică $(x_{1},\;y_{1},\;z_{1})$

{\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb{R} \\z=z_{0}+t \gamma ,\end{cazuri}}

poate fi găsită ca distanța minimă de la un punct dat la un punct arbitrar pe o linie dreaptă. Coeficientul acestui punct poate fi găsit prin formula $t$

t_{\min }={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0} )}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}.

Dispunerea reciprocă a mai multor linii drepte pe un plan

Două drepte date prin ecuații

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0

y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}

se intersectează într-un punct

x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_ {1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_ {1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1 }}}.

Unghiul dintre liniile care se intersectează este dat de $\gamma _{{12}}$

{\mathrm {tg}}\,\gamma _{{12}}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+ B_{1}B_{2))}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.

În acest caz, termenul se referă la unghiul prin care prima linie dreaptă (specificată de parametrii , , , și ) trebuie rotită în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului de intersecție până când coincide mai întâi cu a doua linie dreaptă. $\gamma _{{12}}$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $k_{1}$ $b_{1}$

Aceste drepte sunt paralele dacă sau , și perpendiculare dacă sau . $A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0$ $k_{1}=k_{2}$ $A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$ $k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}$

Orice dreaptă paralelă cu dreapta cu ecuația poate fi exprimată prin ecuație.În acest caz, distanța dintre aceste drepte va fi egală cu $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,$ $A_{1}x+B_{1}y+C=0.$

\delta=\frac{C_1-C}{\pm\sqrt{A_1^2+B_1^2));

Dacă ecuația unei linii drepte este dată ca și ecuația unei drepte este paralelă cu aceasta , atunci distanța poate fi calculată ca $y_1=kx_1+b_1$ $y=kx+b$

\delta=\frac{|b_1-b|}{\sqrt{1+k^2}}.

Dacă semnul dinaintea radicalului este opus, atunci va fi pozitiv atunci când a doua linie și originea se află pe părțile opuse ale primei linii. $C_{1},$ $\delta$

Pentru a face trei drepte

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{ 3}y+C_{3}=0

se intersectează într-un punct sau sunt paralele între ele, este necesar și suficient ca condiția

{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix }}=0.

Dacă și , atunci liniile și sunt perpendiculare pe . $A_{2}=-B_{1}$ $B_{2}=A_{1}$ $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$

Câteva tipuri speciale de linii

Note

↑ Coxeter, 1969 , p. patru
↑ Enciclopedia Matematică, 1984 , p. 721-722.
↑ Proclus Diadochus. Comentariu la prima carte a „Începuturilor” lui Euclid / Universitatea Dmitri Pozharsky. - M. , 2013. - S. 116. - 368 p.
↑ Norden A.P. Un scurt curs de geometrie diferențială. - M. : Fizmatgiz, 1958. - S. 214-215. — 244 p.
↑ Faber, Anexa B, p. 300.
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Algebră vectorială în exemple și probleme . - M . : Şcoala superioară , 1985. - 232 p.

Literatură

Markushevich AI Curbe remarcabile , Prelegeri populare despre matematică . - Numărul 4. - Gostekhizdat , 1952 - 32 pagini.
Direct // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4.
Coxeter, HSM (1969), Introducere în geometrie (ed. a doua), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
Faber, Richard L. (1983), Fundamentele geometriei euclidiene și non-euclidiene , New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course , Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
Wylie, Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry , New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

Link -uri

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4156780-8

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius

Secțiuni conice
Principalele tipuri	Elipsă Hiperbolă Parabolă
Degenerat	Punct Drept Pereche de linii drepte
Un caz special al unei elipse	Cerc
Construcție geometrică	sectiune conica Mingi de păpădie Designul lui Steiner
Vezi si	Constanta conica
Matematică • Geometrie