Paradoxul Monty Hall

Paradoxul Monty Hall  este una dintre problemele binecunoscute ale teoriei probabilităților , a cărei soluție, la prima vedere, contrazice bunul simț. Această sarcină nu este un paradox în sensul restrâns al cuvântului, deoarece nu conține o contradicție, se numește paradox, deoarece soluția ei poate părea neașteptată. Mai mult, multor oameni le este greu să ia decizia corectă chiar și după ce li s-a spus [1] .

Problema a fost publicată pentru prima dată [2] [3] (împreună cu soluția) în 1975 în The American Statistician de către profesorul de la Universitatea din California, Steve Selvin. A devenit populară după ce a apărut în revista Parade în 1990 [4] .

Formulare

Problema este formulată ca o descriere a unui joc bazat pe jocul de televiziune american „Let's Make a Deal”, și poartă numele gazdei acestui program. Cea mai comună formulare a acestei probleme, publicată în 1990 în Parade Magazine , este următoarea:

Imaginează-ți că ai devenit participant la un joc în care trebuie să alegi una dintre cele trei uși. În spatele uneia dintre uși este o mașină , în spatele celorlalte două uși sunt capre . Alegi una dintre uși, de exemplu, numărul 1, după care gazda, care știe unde este mașina și unde sunt caprele, deschide una dintre ușile rămase, de exemplu, numărul 3, în spatele căreia se află o capră. După aceea, te întreabă - ai vrea să-ți schimbi alegerea și să alegi ușa numărul 2? Vor crește șansele tale de a câștiga o mașină dacă accepți oferta gazdei și îți schimbi alegerea?

După publicare, a devenit imediat clar că problema a fost formulată incorect: nu erau stipulate toate condițiile. De exemplu, facilitatorul poate urma strategia „Hellish Monty”: oferiți-vă să schimbați alegerea dacă și numai dacă jucătorul a ales o mașină la prima mișcare. Evident, schimbarea alegerii inițiale va duce la o pierdere garantată într-o astfel de situație (vezi mai jos).

Cea mai populară este problema cu o condiție suplimentară [5] - participantul la joc cunoaște în prealabil următoarele reguli :

Următorul text discută problema Monty Hall în această formulare.

Analizare

Ușa 1 Ușa 2 Ușa 3 Rezultat dacă modificați selecția Rezultat dacă nu modificați selecția
Auto Capră Capră Capră Auto
Capră Auto Capră Auto Capră
Capră Capră Auto Auto Capră

Pentru strategia câștigătoare este important: dacă schimbi alegerea ușii după acțiunile liderului, atunci câștigi dacă ai ales inițial ușa pierzătoare. Acest lucru se va întâmpla cu o probabilitate de 2 ⁄ 3 , deoarece inițial există 2 moduri din 3 de a alege ușa pierzătoare.

Dar adesea, atunci când rezolvă această problemă, ei argumentează cam așa: gazda îndepărtează întotdeauna o ușă pierdută în cele din urmă, iar apoi probabilitățile ca o mașină să apară în spatele celor două nedeschise devin egale cu ½ , indiferent de alegerea inițială. Dar acest lucru nu este adevărat: deși există într-adevăr două posibilități de alegere, aceste posibilități (ținând cont de fundal) nu sunt la fel de probabile. Acest lucru este adevărat pentru că inițial toate ușile au avut șanse egale de câștig, dar apoi au avut probabilități diferite de a fi eliminate.


Pentru majoritatea oamenilor, această concluzie contrazice percepția intuitivă a situației și, datorită discrepanței care rezultă între concluzia logică și răspunsul către care se înclină opinia intuitivă, problema se numește paradoxul Monty Hall .

Rețineți că prima alegere a jucătorului asupra unei uși afectează cele două uși rămase din care alege Monty.


Situația cu ușile devine și mai evidentă dacă ne imaginăm că nu sunt 3 uși, ci, să zicem, 1000, iar după alegerea jucătorului, prezentatorul scoate 998 de uși în plus, rămânând 2 uși: cea pe care a ales-o jucătorul. si inca unul. Pare mai evident că probabilitățile de a găsi un premiu în spatele acestor uși sunt diferite și nu sunt egale cu ½ . Dacă schimbăm ușa, atunci pierdem doar dacă am ales ușa premiului de la bun început, a cărei probabilitate este de 1:1000. Câștigăm la schimbarea ușii dacă alegerea noastră inițială a fost greșită , iar probabilitatea acesteia este de 999 din 1000. În cazul a 3 uși, logica este păstrată, dar probabilitatea de a câștiga la schimbarea deciziei este de 2 ⁄ 3 , respectiv , iar nu 999 ⁄ 1000 .

Un alt mod de raționament este înlocuirea condiției cu una echivalentă. Imaginați-vă că, în loc ca jucătorul să facă alegerea inițială (să fie întotdeauna ușa numărul 1) și apoi să deschidă ușa cu capra printre cele rămase (adică mereu printre numerele 2 și 3), jucătorul trebuie să ghicească ușa la prima încercare, dar i s-a spus anterior, că poate fi o mașină în spatele ușii nr. 1 cu o probabilitate inițială (33%), iar printre ușile rămase este indicat pentru care dintre ușile mașinii nu există cu siguranță nicio mașină (0%). În consecință, ultima ușă va reprezenta întotdeauna 67%, iar strategia de a o alege este de preferată.

Un raționament și mai vizual este că știind în prealabil condițiile complete ale jocului (că alegerea va fi oferită pentru a fi schimbată) și fiind de acord în prealabil cu aceste condiții, jucătorul alege de fapt pentru prima dată o ușă în spatele căreia, în opinie, nu există premiu (și poate greși cu o probabilitate de 1 ⁄ 3 ). În același timp, indirect, arată și cele două uși rămase, dintre care una, în opinia sa, are un premiu, care dă șansa de a câștiga 2 ⁄ 3 . Acest lucru este echivalent cu un joc în care facilitatorul de la început i-ar oferi odată jucătorului să excludă o ușă „în plus” și să fie garantat că le va deschide pe celelalte două.

A patra opțiune: dacă jucătorul a ales o mașină (probabilitatea acesteia este ⅓ ), Monty va oferi cu siguranță o schimbare și duce la o capră. Și dacă jucătorul a ales o capră (probabilitate ⅔ ) - atunci la mașină. Prin urmare, probabilitățile posterioare sunt ⅓ dacă nu sunt modificate și ⅔ dacă sunt modificate. Și deschiderea la fel de probabilă a ușilor din stânga și din dreapta, dacă jucătorul a arătat totuși spre mașină, nu permite extragerea de informații din faptul că ușa din stânga sau din dreapta este deschisă.

Alt comportament al gazdei

Versiunea clasică a paradoxului Monty Hall spune că gazda va cere jucătorului să schimbe ușa, indiferent dacă a ales mașina sau nu. Dar este posibil și un comportament mai complex al gazdei. Acest tabel descrie pe scurt mai multe comportamente. Dacă nu se specifică altfel, premiile sunt la fel de probabil să fie amplasate în afara ușilor, prezentatorul știe unde se află mașina și, dacă există de ales, alege cu aceeași probabilitate dintre două capre. Dacă gazda influențează probabilitățile mai degrabă decât să urmeze o procedură rigidă, atunci scopul este să țină mașina departe de subiect. Scopul subiectului, respectiv, este să-l ridice.

Comportamentul gazdei Rezultat
„Infernal Monty”: Gazda se oferă să se schimbe dacă ușa este corectă [4] . Cu o probabilitate de ⅔ nu va exista nicio ofertă, iar subiectul va rămâne cu capra. Cu o probabilitate de ⅓  - va exista o ofertă, iar schimbarea va da întotdeauna o capră.
„Angelic Monty”: gazda se oferă să se schimbe dacă ușa este greșită [6] . Cu o probabilitate de ⅓ nu va exista nicio ofertă, iar subiectul va lua mașina. Cu o probabilitate de ⅔  - va exista o ofertă, iar schimbarea va oferi întotdeauna o mașină.
„Ignorant Monty” sau „Monty Buch”: gazda cade din neatenție, ușa se deschide și se dovedește că în spatele ei nu este nicio mașină. Cu alte cuvinte, gazda însuși nu știe ce se află în spatele ușilor, deschide ușa complet la întâmplare și doar întâmplător nu era nicio mașină în spatele ei [7] [8] [9] . Cu o probabilitate de ⅓ , Monty căzut va deschide mașina, o pierdere. Cu o probabilitate de ⅔ , va urma o ofertă, iar schimbarea va oferi un câștig în ½ din cazuri.
Așa este aranjată emisiunea americană „Deal or No Deal” - totuși, jucătorul însuși deschide o ușă aleatorie, iar dacă nu există nicio mașină în spatele ei, prezentatorul se oferă să o schimbe.
Gazda alege una dintre capre și o deschide dacă jucătorul a ales o altă ușă. Cu o probabilitate de ⅓ nu va exista nicio ofertă, o pierdere. Cu o probabilitate de ⅔ , va urma o ofertă, iar schimbarea va oferi un câștig în ½ din cazuri.
Gazda deschide mereu capra. Dacă se alege o mașină, capra din stânga se deschide cu probabilitatea p și capra din dreapta cu probabilitatea q =1− p . [8] [9] [10] Dacă liderul a deschis ușa din stânga, schimbarea oferă un câștig cu probabilitate . Dacă este corect - . Cu toate acestea, subiectul nu poate influența probabilitatea ca ușa potrivită să fie deschisă - indiferent de alegerea sa, acest lucru se va întâmpla cu probabilitate .
La fel, p = q = ½ (cazul clasic). Schimbarea oferă un câștig cu o probabilitate de ⅔ .
La fel, p = 1, q = 0 ("Monty neputincios" - un prezentator obosit stă la ușa din stânga și deschide capra care este mai aproape). Dacă liderul a deschis ușa dreaptă (probabilitatea acesteia este ⅓ ), schimbarea oferă un câștig garantat. Dacă rămâne, ceea ce se întâmplă în ⅔ dintre cazuri, probabilitatea este ½ .
Gazda nu știe ce se află în spatele ușilor. El alege una dintre cele două uși rămase, se consultă în secret cu un partener și se oferă să se schimbe dacă există o capră. Adică deschide capra întotdeauna dacă se alege o mașină și cu probabilitate ½ altfel. [unsprezece] Similar cu opțiunea Monty Buch: cu o probabilitate de ⅓ , partenerul secret va spune că există o mașină, nu va exista nicio ofertă, pierdere. Cu o probabilitate de ⅔ va exista o ofertă, iar schimbarea va da un câștig în ½ din cazuri.
Caz general: jocul se repetă de multe ori, probabilitatea de a ascunde mașina în spatele uneia sau alteia uși, precum și a deschiderii uneia sau aceleia uși este arbitrară, dar gazda știe unde se află mașina și oferă întotdeauna o schimbare prin deschiderea uneia dintre caprele. [12] [13] Echilibrul Nash : paradoxul lui Monty Hall în forma sa clasică este cel mai benefic pentru gazdă - mașina se ascunde în spatele oricăreia dintre uși cu o probabilitate de ⅓ ; dacă există de ales, deschide orice capră la întâmplare. Probabilitatea de a câștiga este ⅔ .
La fel, dar gazda poate să nu deschidă ușa deloc. Echilibrul Nash : este benefic ca gazda să nu deschidă ușa, probabilitatea de a câștiga este ⅓ .

Opțiune: Provocarea celor trei prizonieri

Problema a fost propusă de Martin Gardner în 1959.

Trei deținuți, A, B și C, sunt plasați în izolare și condamnați la moarte. Guvernatorul alege aleatoriu unul dintre ei și îl iertă. Paznicul care păzește prizonierii știe cine este grațiat, dar nu are dreptul să spună asta. Prizonierul A îi cere gardianului să-i spună numele acelui (celălalt) prizonier care va fi executat cu siguranță: „ Dacă B este grațiat, spune-mi că C va fi executat. Dacă C este grațiat, spune-mi că B va fi executat. Eu, arunc o monedă și rostesc numele lui B sau C. ”

Paznicul îi spune prizonierului A că prizonierul B va fi executat. Prizonierul A este bucuros să audă asta, deoarece crede că acum probabilitatea de supraviețuire a lui este ½ , și nu ⅓ , așa cum era înainte. Prizonierul A îi spune în secret prizonierului C că B va fi executat. De asemenea, prizonierul C este fericit să audă acest lucru, deoarece încă mai crede că probabilitatea de supraviețuire a prizonierului A este ⅓ , iar probabilitatea de supraviețuire a crescut la 2 ⁄ 3 . Cum poate fi aceasta?

Analizare

Cei familiarizați cu paradoxul lui Monty Hall știu acum că C are dreptate și A greșit.

Deci expresia „Execută B” lasă prima și a patra opțiune - adică 2 ⁄ 3 șanse ca C să fie grațiat și ⅓ că A.

Oamenii cred că probabilitatea este ½ pentru că ignoră esența întrebării pe care prizonierul A o pune gardianului. Dacă gardianul ar putea răspunde la întrebarea „Va fi executat prizonierul B?”, atunci dacă răspunsul a fost da, probabilitatea executării lui A ar scădea într-adevăr de la 2 ⁄ 3 la ½ .

Întrebarea poate fi abordată în alt mod: dacă A este iertat, gardianul va rosti orice nume la întâmplare; dacă A este executat, gardianul va spune cel care va fi executat împreună cu A. Deci întrebarea nu îi va oferi lui A nicio șansă suplimentară de grațiere.

Vezi și

Note

  1. ↑ Vorontsov, I.D., Raitsin, A.M. MONTY HALL PARADOX  // TELECOMUNICAȚII ȘI TEHNOLOGII INFORMAȚIILOR. - 2015. - Nr 2 . - S. 7 . Arhivat din original pe 15 iunie 2021.
  2. ↑ Selvin, Steve. O problemă de probabilitate (scrisoare către editor  )  // Statistician american : jurnal. — Vol. 29 , nr. 1 . — P. 67 . — .
  3. ↑ Selvin, Steve. Despre problema Monty Hall (scrisoare către editor  )  // Statistician american : jurnal. — Vol. 29 , nr. 3 . — P. 134 . — .
  4. ↑ 1 2 Tierney, John (21 iulie 1991), Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer? , The New York Times , < https://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D0CEFDD1E3FF932A15754C0A967958260 > . Consultat la 18 ianuarie 2008. Arhivat la 9 noiembrie 2007 la Wayback Machine 
  5. ↑ The Monty Hall Problem, Reconsidered Arhivat 8 martie 2019 la Wayback Machine . Martin Gardner în secolul XXI
  6. ↑ Granberg, Donald (1996). „A comuta sau a nu comuta”. Apendice la vos Savant, Marilyn, Puterea gândirii logice . Sf. Presa lui Martin. ISBN 0-312-30463-3 , ( copie online restricționată  în „ Google Books ”).
  7. ↑ Granberg, Donald și Brown, Thad A. (1995). „The Monty Hall Dilema”, Buletinul de personalitate și psihologie socială 21 (7): 711-729.
  8. ↑ 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl   // Math Horizons :revistă. — 2005a. - P. numărul septembrie, 5-7 . Retipărire online, 2008 Arhivat 16 noiembrie 2010 la Wayback Machine .
  9. ↑ 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. (2005b): Locuit de fulger: lumea curioasă a probabilităților . Harper Collings 2005, ISBN 978-0-00-200791-7 .
  10. ↑ Morgan, JP, Chaganty, NR, Dahiya, RC și Doviak, MJ (1991). „Să facem o înțelegere: dilema jucătorului”, arhivată la 21 august 2016 la Wayback Machine American Statistician 45 : 284-287 .
  11. ↑ Mueser, Peter R. și Granberg, Donald (mai 1999). „The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making” Arhivat 25 mai 2013 la Wayback Machine , University of Missouri Working Paper 99-06. Preluat la 10 iunie 2010.
  12. ↑ Gill, Richard (2010) Problema Monty Hall. pp. 858-863, Enciclopedia Internațională a Științei Statistice , Springer, 2010. Eprint [1]
  13. ↑ Gill, Richard (2011) Problema Monty Hall nu este un puzzle de probabilitate (este o provocare în modelarea matematică). Statistica Neerlandica 65 (1) 58-71, februarie 2011. Eprint [2]

Link -uri

Literatură