Paradoxul băiat-fată este cunoscut și în teoria probabilității ca Paradoxul băiat-fată, Copiii domnului Smith și Problemele doamnei Smith. Problema a fost formulată pentru prima dată în 1959, când Martin Gardner a publicat una dintre cele mai vechi versiuni ale acestui paradox în Scientific American numită „The Two Children Problem”, unde a dat următoarea formulare:
Gardner însuși a dat inițial răspunsul 1/2 și, respectiv, 1/3, dar ulterior și-a dat seama că situația din al doilea caz este ambiguă. [1] Răspunsul la a doua întrebare poate fi 1/2, în funcție de modul în care s-a aflat că unul dintre copii este băiat. Ambiguitatea în funcție de starea specifică a problemei și de ipotezele făcute a fost confirmată mai târziu în 1982 (Maya Bar-Hillel și Ruma Falk „Some teasers concerning conditional probabilities” [2] ) și în mai 2004 (Raymond S. Nickerson „Cognition and Chance : Psihologia raționamentului probabilistic” [3] ). Alte variante ale acestui paradox, cu diferite grade de incertitudine, au apărut recent[ ce? ] timpul a câștigat popularitate. De exemplu, în Ask Marilyn în Parade Magazine , [4] John Tierney în The New York Times , [5] și Leonard Mlodinow în Drunkard's Walk. [6] Interesantă este și percepția psihologică a acestui paradox. Un studiu științific din 2004 (Craig R. Fox & Jonathan Levav (2004) [7] . „Partition-Edit-Count: Naive Extensional Reasoning in Judgment of Conditional Probability) a constatat că, având în vedere informații de intrare identice, dar diferite, cu variații în formularea problemă care încurajează alegerea unui anumit punct de vedere, proporția studenților MBA care au dat un răspuns 1/2 la a doua întrebare variază de la 85% la 39%.Paradoxul provoacă adesea multe controverse.3 Mulți oameni sunt înfocați . susținătorii fiecăreia dintre opțiuni răspund, în timp ce ei neagă și uneori disprețuiesc punctul de vedere opus.Paradoxul este că, cu abordări diferite ale analizei, probabilitatea dorită este diferită. [6] [7] Cel mai evident răspuns la ambele întrebări. este 1/2 [7] Cu toate acestea, acesta este răspunsul evident doar atunci când rezultă din fiecare dintre întrebări că există două rezultate la fel de probabile pentru sexul celui de-al doilea copil (băiat sau fată) [7] [8] și că probabilitățile acestor rezultate sunt necondiționate. [9]
Alegem o familie aleatorie care îndeplinește condițiile primei întrebări. Apoi există 4 rezultate la fel de probabile.
| copil mai mare | Cel mai tanar copil |
|---|---|
| Fată | Fată |
| Fată | Băiat |
| Băiat | Băiat |
| Băiat | Fată |
Și doar 2 dintre rezultatele posibile îndeplinesc criteriul specificat în întrebare (acestea sunt opțiuni pentru DD, DM). Datorită faptului că ambele rezultate din noul set de rezultate elementare {DD, DM} sunt la fel de probabile și doar unul dintre rezultate conține două fete - DD - probabilitatea ca ambii copii să fie fete este de 1/2.
A doua întrebare este similară cu prima, dar în loc să spună că cel mai mare copil este băiat, întrebarea spune că cel puțin unul dintre copii este băiat. Ca răspuns la criticile din partea cititorilor, Gardner este de acord că, din cauza „imposibilității de a descrie în detaliu procedura de randomizare”, formularea sa originală are 2 moduri de interpretare a metodei de selecție a familiei:
Evident, fiecare domnul Smith are un fiu (aceasta este o condiție necesară), dar nu este clar dacă fiecare domnul Smith cu un fiu va intra în considerarea noastră. Aici se află problema: afirmația nu spune că a avea un fiu este o condiție suficientă pentru includerea domnului Smith în „probă”. Totodată, Bar-Hillel & Falk [2] , comentând lucrările lui Gardner, notează că „doamna Smith, spre deosebire de cititor, știe în mod firesc ce sex sunt copiii ei atunci când pretinde ceva. Și pornind de la răspuns: „ Am doi copii și cel puțin unul dintre ei este băiat” - răspunsul corect, în opinia lor, va fi 1/3, așa cum a sugerat inițial Gardner.
Dacă presupunem că familia este aleasă în conformitate cu principiul că are cel puțin un copil-băiat și prezența unui băiat este acceptată ca o condiție necesară și suficientă , atunci rămân trei din patru rezultate la fel de probabile pentru o familie cu doi copii din setul de rezultate elementare descrise mai sus.
| copil mai mare | Cel mai tanar copil |
|---|---|
| Fată | Fată |
| Fată | Băiat |
| Băiat | Fată |
| Băiat | Băiat |
Presupunând că ambii copii sunt luați în considerare în căutarea unui băiat, răspunsul la a doua întrebare este 1/3. Totuși, dacă s-a ales mai întâi o familie și apoi s-a verificat sexul unuia dintre copii, atunci modalitatea corectă de calcul nu ar mai fi numărarea opțiunilor potrivite, ci calcularea probabilității condiționate pentru fiecare caz.
| copil mai mare | Cel mai tanar copil | P (cazul acesta) | P ("testat s-a dovedit a fi un băiat") | P(în acest caz și „testat s-a dovedit a fi un băiat”) |
|---|---|---|---|---|
| Fată | Fată | 1/4 | 0 | 0 |
| Fată | Băiat | 1/4 | 1/2 | 1/8 |
| Băiat | Fată | 1/4 | 1/2 | 1/8 |
| Băiat | Băiat | 1/4 | unu | 1/4 |
Răspunsul se obține prin calcularea probabilității condiționate (1/4)/(0+1/8+1/8+1/4)=1/2. Rețineți că, în cazul alegerii unui anumit copil, totul se va întâmpla puțin diferit, iar un răspuns similar se va obține folosind alte calcule. De exemplu, dacă aflăm mai întâi sexul celui mai mic copil, atunci
| Cel mai mare copil (sex cunoscut) | Cel mai tanar copil | P (cazul acesta) | P ("al doilea copil este un băiat") | P(în acest caz și „al doilea copil este un băiat”) |
|---|---|---|---|---|
| Fată | Fată | 1/4 | 0 | 0 |
| Fată | Băiat | 1/4 | unu | 1/4 |
| Băiat | Fată | 1/4 | 0 | 0 |
| Băiat | Băiat | 1/4 | unu | 1/4 |
(1/4)/(0+1/4+0+1/4)=1/2.
De când paradoxul lui Gardner a câștigat popularitate, a fost discutat pe scară largă și au fost concepute diferite forme ale celei de-a doua întrebări. Prima versiune a fost propusă de Bar-Hillel și Falk [2] și suna așa:
Domnul Smith este tatăl a doi copii. L-am întâlnit mergând pe stradă cu un băiețel, pe care ni l-a prezentat cu mândrie drept fiul său. Care este probabilitatea ca al doilea copil al domnului Smith să fie și băiat?Bar-Hillel și Falk au folosit această variație pentru a sublinia importanța acordării atenției ipotezelor subiacente. În acest caz, răspunsul evident ½ este corect. Cu toate acestea, cineva poate să nu fie de acord și să spună că înainte ca domnul Smith să ne prezinte băiatul, știm că el este fie tatăl a două fete DD, fie a doi băieți MM, fie un băiat și o fată, unde cel mai mare este fie MD. baiat sau fata DM. Astfel, având în vedere echiprobabilitatea evenimentelor, începem din nou cu o probabilitate de 1/4 ca Smith să aibă doi băieți. Când aflăm că are cel puțin un băiat, respingem automat varianta cu două fete. Și din faptul că celelalte trei rezultate sunt la fel de probabile, concluzionăm că probabilitatea MM este 1/3.
Bar-Hillel și Falk [2] spun că există o presupunere naturală că domnul Smith a ales la întâmplare un copil cu care să iasă, dar în acest caz combinațiile de MM, MD și MM nu mai sunt la fel de probabile. În acest caz, în situația MM, alegerea unui băiat ca însoțitor este garantată, iar în celelalte două cazuri, probabilitatea diferă de 1. Dacă efectuăm calcule ținând cont de acest factor, rezultă că probabilitatea că al doilea copil este băiat este 1/2.
Cu toate acestea, Bar-Hillel și Falk au propus un scenariu alternativ. Ei au sugerat că există o cultură în care un băiat era oricum ales să meargă. În această ipoteză, perechile de copii MM, MD și DM sunt la fel de probabile, chiar dacă știm că un băiat a plecat la plimbare, din care putem deduce că probabilitatea ca al doilea copil să fie și băiat este de 1/3. . [2]
În 1991, Marilyn vos Savant , în rubrica ei „Întreabă-l pe Marilyn” din revista Parade, a răspuns unui cititor care i-a cerut să rezolve o variantă a paradoxului cățelușului. Și în 1996, a apărut o altă variantă a celei de-a doua întrebări:
Vos Savant însăși a dat un răspuns clasic la această întrebare. Dar, în același timp, ea a realizat un sondaj în care cititorii cu 2 copii, inclusiv cel puțin un fiu, au răspuns la întrebarea despre ce sex au copiii lor. 35,9% din aproape 18.000 de persoane au răspuns că au 2 băieți. [10] Această notă a lui Vos Savant [4] a fost revizuită în detaliu de Carleton și Stansfield [10] într-un articol din 2005 în The American Statistician. Autorii nu discută posibila ambiguitate în această întrebare și concluzionează că răspunsul ei este corect din punct de vedere matematic, având în vedere premisa că probabilitățile de a avea un băiat și o fată sunt egale și că sexul celui de-al doilea copil nu depinde de sexul primului. În ceea ce privește cercetarea ei, aceștia afirmă că „în orice caz, confirmăm că afirmația lui Vos Savant că probabilitățile prezentate în întrebarea inițială nu sunt egale este adevărată și că probabilitatea a doi băieți este mai aproape de 1/3 decât de 1/2. ".
Carlton și Stansfield trec apoi să discute despre paradoxul unui băiat și al unei fete în viață. Ei demonstrează că în lumea reală, băieții sunt ceva mai des întâlniți decât fetele și că independența sexului celui de-al doilea copil față de sexul primului nu este atât de evidentă. Autorii concluzionează că, deși premisa întrebării contrazice observațiile reale, paradoxul are o mare valoare pedagogică deoarece „ilustrează una dintre cele mai intrigante aplicații ale probabilității condiționate”. De fapt, valorile reale ale probabilității nu sunt importante; la urma urmei, scopul paradoxului este de a demonstra logici aparent contradictorii , și nu rata natalității reală.
Din punct de vedere al analizei statistice, întrebările de mai sus sunt adesea ambigue și nu au un răspuns „corect”, ca atare. Cu toate acestea, paradoxul celui de-al doilea copil nu se termină aici, iar posibilitățile pe care le deschide pentru a explora percepția intuitivă a probabilității de către o persoană sunt și ele utile. Studii precum cele realizate de Vos Savant afirmă că, dacă oamenii ar fi consecvenți, ar fi mai probabil să vină cu un răspuns de 1/3, dar un răspuns de 1/2 este mai frecvent. Ambiguitatea acestei a doua întrebări, în timp ce creează paradoxuri în matematica clasică, stă la baza studierii percepției intuitive a probabilității de către oameni. Fox & Levav în 2004 [7] au folosit acest paradox pentru a studia modul în care oamenii evaluează probabilitatea condiționată. În acest studiu, paradoxul a fost prezentat oamenilor în două moduri:
Autorii susțin că prima formulare dă cititorului impresia eronată că există două posibilități la fel de probabile pentru „celălalt copil” [7] , în timp ce a doua formulare dă cititorului impresia că există patru rezultate posibile, dintre care unul a fost excluse (ca urmare, probabilitatea pentru doi băieți este de 1/3, deoarece au rămas trei rezultate elementare posibile, dintre care doar unul are ambii copii băieți).
Conform rezultatelor acestui experiment, s-a dovedit că aceste două formulări derutează oamenii. Deci, în primul caz, răspunsul 1/2 a fost dat de 85% dintre respondenți, în timp ce în al doilea caz doar 39%. Autorii sugerează că motivul pentru care oamenii răspund diferit la aceste două întrebări este că oamenii iau decizii folosind euristici care implică utilizarea unor metode informale, spre deosebire de metodele de decizie bazate pe modele matematice clare .