Densitatea ambalajului

Densitatea de împachetare într-un anumit spațiu este fracțiunea de spațiu umplută cu corpuri împachetate (figuri). În problemele de ambalare , scopul este de obicei obținerea unui umplutură cu cea mai mare densitate posibilă.

În spații compacte

Dacă K 1 ,…, K n sunt submulțimi măsurabile de X compact în spațiul de măsurare și seturile lor de puncte interioare sunt disjunse pe perechi, atunci colecția { Ki } este o împachetare în X și densitatea acestui împachetare este egală cu

.

În spațiul euclidian

Dacă spațiul de împachetat este infinit, cum ar fi spațiul euclidian , densitatea este definită în mod tradițional ca limita densităților obținute prin împachetarea în bile din ce în ce mai mari. Dacă B t este o bilă cu raza t centrată la origine, atunci densitatea de împachetare { K i  : i ∈ℕ} este egală cu

.

Deoarece o astfel de limită nu există întotdeauna, este util să definiți densitățile superioare și inferioare ca limite superioare și inferioare. Dacă densitatea există, densitățile superioare și inferioare sunt aceleași. Dacă se asigură că orice bilă din spațiul euclidian intersectează doar un număr finit de elemente de împachetare și dacă diametrele elementelor sunt mărginite de sus, densitățile superioare și inferioare nu depind de alegerea originii și μ ( K i ∩ B t ) poate fi înlocuit cu μ ( K i ) pentru orice element care se intersectează cu B t [1] . Bilele pot fi înlocuite cu homoteții ale unui alt corp convex, dar, în general, densitățile rezultate pot diferi.

Densitate optimă de ambalare

Adesea, ambalajul este considerat cu o restricție privind utilizarea elementelor unui anumit set de elemente. De exemplu, un set de elemente poate consta din bile cu o anumită rază. Densitatea optimă de împachetare sau constanta de împachetare asociată cu o colecție este o limită superioară exactă a densităților superioare obținute de o împachetare care conține o subcolecție a setului de elemente din care este creat împachetarea. Dacă o anumită colecție de elemente de împachetat constă din corpuri convexe cu diametru limitat, există o garnitură a cărei densitate este egală cu constanta de împachetare, iar această constantă de împachetare nu se modifică dacă bilele din definiția densității sunt înlocuite cu omoteții ale unora. alt corp convex [1] .

Toate mișcările euclidiene unui corp convex fix K prezintă interes . În acest caz, constanta de împachetare se numește constantă de împachetare a corpului K. Conjectura lui Kepler se referă la constanta de împachetare a sferelor tridimensionale. Conjectura de împachetare Ulam afirmă că sferele 3D au cea mai mică constantă de împachetare în comparație cu alte corpuri convexe. De asemenea, interesează toate translațiile paralele ale unui corp fix, iar pentru ele se introduce constanta de împachetare a translației paralele a corpului.

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 Groemer, 1986 , p. 183.

Literatură

Link -uri