Măsura setului

Măsura unei mulțimi este o caracteristică numerică a unei mulțimi; intuitiv, poate fi înțeleasă ca masa unei mulțimi cu o anumită distribuție a masei în spațiu . Conceptul de măsură a unei mulțimi a apărut în teoria funcțiilor unei variabile reale în timpul dezvoltării conceptului de integrală [1] .

De fapt, o măsură este o anumită funcție numerică care atribuie fiecărui set (dintr-o anumită familie de mulțimi) un număr nenegativ. Pe lângă faptul că este nenegativă, o măsură ca funcție trebuie să aibă și proprietatea aditivității - măsura unirii mulțimilor disjunctive trebuie să fie egală cu suma măsurilor lor. Trebuie remarcat faptul că nu orice mulțime este măsurabilă - pentru fiecare funcție a unei măsuri, o anumită familie de mulțimi (numite măsurabile în raport cu măsura dată) pentru care există măsura este de obicei menită.

Un caz special de măsură este măsura Lebesgue pentru submulțimi , care generalizează conceptul de volum , suprafață sau lungime la cazul mulțimilor care sunt mai generale decât mărginite doar de o suprafață netedă. $\mathbb {R} ^{n}$ $(n=3)$ $(n=2)$ $(n=1)$

Definiții

Fie dată o mulțime cu o clasă distinsă de submulțimi , se presupune că această clasă de submulțimi este uneori un inel de mulțimi sau o algebră de mulțimi , în cel mai general caz, un semiring de mulțimi . $X$ ${\mathcal {F}}$

O funcție se numește măsură (uneori volum ) dacă satisface următoarele axiome: $\mu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\;\infty ]$

$\mu (\varnothing )=0$ — măsura mulțimii goale este egală cu zero;
Pentru orice seturi care nu se suprapun $A,B\in {\mathcal {F}),$ $A\cap B=\varnimic$ $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$ — măsura unirii mulțimilor disjunctive este egală cu suma măsurilor acestor mulțimi ( aditivitate, aditivitate finită ).

Prima axiomă este convenabilă, dar într-un sens redundantă: este suficient să presupunem că există cel puțin o mulțime cu o măsură finită , din care va rezulta că măsura mulțimii goale va fi egală cu zero (în caz contrar, adăugând o set gol la orice set de măsură finită ar schimba măsura, în ciuda faptului că setul nu s-a schimbat).

Rezultă direct din a doua axiomă (în cazul unui inel de mulțimi) că măsura unirii oricărui număr finit de mulțimi disjunctive este egală cu suma măsurilor acestor mulțimi:

\mu \left(\bigcup \limits _{{i=1}}^{n}A_{i}\right)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\mu (A_{ i})

În cazul unei definiții peste un seminel de mulțimi, această proprietate a aditivității finite este de obicei luată în locul celei de-a doua axiome, deoarece în general aditivitatea finită nu rezultă din aditivitatea pe perechi [2] .

Măsura aditivă numărabilă

Aditivitatea (finită) a unei măsuri nu implică, în general, că o proprietate similară este valabilă pentru o uniune numărabilă de mulțimi disjunctive. Există o clasă importantă specială de măsuri numite măsuri numărabile aditive .

Să fie dată o mulțime cu algebră distinsă . $X$ $\sigma$ ${\mathcal {F}}$

O funcție este numită măsură numărabilă aditivă (sau -aditivă ) dacă satisface următoarele axiome: $\mu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\;\infty ]$ $\sigma$

$\mu (\varnothing )=0.$
( -aditivitate ) Dacă este o familie numărabilă de mulțimi disjunse în perechi din , adică , atunci: $\sigma$ $\{E_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\neq j$

\mu \left(\bigcup \limits _{{n=1}}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }\mu ( E_{n})

Note

Cu excepția cazului în care se specifică în mod explicit altfel, o măsură aditivă numărabilă este de obicei implicită .
Evident, orice măsură aditivă numărabilă este aditivă finit, dar nu invers.
Dacă măsura întregului spațiu este finită, adică , atunci o astfel de măsură este ea însăși numită finită . În caz contrar, măsura este infinită . $\mu (X)<\infty$

De obicei, mulțimile care sunt măsurabile în raport cu o măsură dată constituie propria lor subclasă în clasa tuturor submulților din spațiu . Și, deși există mai multe scheme generale care permit extinderea măsurilor la clase mari de mulțimi măsurabile, uneori extinderea unei măsuri este posibilă doar cu prețul pierderii proprietăților unice ale măsurii originale. De exemplu, măsura Lebesgue în spații euclidiene cu dimensiuni finite este invariantă sub mișcările acestui spațiu. Orice extindere a măsurii Lebesgue la clasa tuturor submulților din spațiul euclidian nu mai poate fi invariantă chiar și numai în cazul deplasărilor (vezi exemplul unei mulțimi nemăsurabile ). Deci din punct de vedere practic, astfel de continuări își pierd orice valoare. $X$

Pe planul drept și bidimensional, există un număr infinit de extensii ale măsurii Lebesgue de la algebra Borel până la mulțimea tuturor submulților mărginite care păstrează aditivitatea finită a măsurii și astfel încât mulțimile congruente să aibă aceeași măsură. Începând de la dimensiunea 3, acest lucru este imposibil. $\sigma$

Definiții înrudite

Un triplu se numește spațiu cu o măsură dacă există un spațiu măsurabil și este o măsură definită pe acesta. $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F}})$ $\mu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb{R}$
Dacă este o măsură de probabilitate , atunci un astfel de spațiu cu o măsură se numește spațiu de probabilitate . $\mu$
Suportul unei măsuri este cel mai mic set închis , pe care se concentrează măsura. Purtătorul de măsură este de obicei notat cu . Mai precis, este complementul celui mai mare set deschis astfel încât . $\mu$ $\operatorname {supp} (\mu )$ $\operatorname {supp} (\mu )$ $\Omega$ $\mu (\Omega)=0$

Proprietăți

Din definiție rezultă că măsura are cel puțin următoarele proprietăți (se presupune că măsura este definită cel puțin pe un semicerc de mulțimi):

Măsura mulțimii goale este zero $\mu (\varnothing )=0$
- Această proprietate fie este presupusă ca axiomă în definiția măsurii, fie se presupune că există cel puțin o mulțime a cărei măsură este finită . Rezultă direct de aici că măsura mulţimii goale trebuie să fie egală cu zero (în caz contrar, adăugarea mulţimii goale la un set de măsură finită va creşte măsura acestei mulţimi, deşi mulţimea nu se va schimba). Cazul infinitului de măsură a tuturor mulțimilor nu are interes și sens practic. Prin urmare, existența mulțimilor de măsură finită este implicată de la bun început.
- Din egalitatea măsurii unei mulțimi la zero, în cazul general, nu rezultă că această mulțime este goală. Se obișnuiește să se vorbească despre seturi de măsură zero .

Monotonicitate - măsura unei submulțimi nu este mai mare decât măsura setului în sine $A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leqslant \mu (B)$

Aceasta este o proprietate intuitivă - cu cât setul este „mai mic”, cu atât „dimensiunea” este mai mică.

Măsura diferenței seturilor imbricate este egală cu diferența măsurilor acestor mulțimi $A\subseteq B\Rightarrow \mu (B\backslash A)=\mu (B)-\mu (A)$

Măsura unirii a două mulțimi arbitrare este egală cu suma măsurilor acestor mulțimi minus măsura intersecției lor (dacă aceasta din urmă este definită): $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)$ ( formula de includere-excludere )

Prin urmare,

\mu (A\cup B)\leqslant \mu (A)+\mu (B)

Proprietăți ale măsurilor numărabile aditive

Măsurile aditive numărătoare, pe lângă cele indicate, au și următoarele proprietăți.

Continuitate: măsura limitei unei secvențe infinite de mulțimi imbricate este egală cu limita secvenței de măsuri a acestor mulțimi: $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}...\supseteq A=\bigcap _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$
- Se presupune aici că măsura primei mulțimi este finită.
Această proprietate este valabilă și pentru secvența „inversă” de mulțimi $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}...\subseteq A=\bigcup _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$

Monotonitatea numărabilă înseamnă că măsura unei submulțimi a unei uniuni numărabile de mulțimi nu este mai mare decât suma măsurilor acestor mulțimi: $A\subseteq \bigcup _{{i=1}}^{\infty }A_{i}\Rightarrow \mu (A)\leqslant \sum _{{i=1}}^{\infty }\mu (A_ {i})$

Exemple

Măsura Jordan este un exemplu de măsură aditivă finită.
Măsura Lebesgue este un exemplu de măsură aditivă numărabilă.
Probabilitatea este un exemplu de măsură finită.
Măsura Hausdorff
Măsura Borel
Măsură Haar
Un ultrafiltru poate fi definit ca o măsură aditivă finită cu valori într-un set de două elemente $\{0,1\}$

Măsuri continuate

Este adesea dificil și inutil să definiți în mod explicit o măsură pentru fiecare mulțime din sigma-algebra corespunzătoare (inel sau algebră) de mulțimi, deoarece este suficient să definiți măsura pe o anumită clasă de mulțimi măsurabile și apoi, folosind proceduri standard ( și în condiții cunoscute), continuă până la inelul, algebra sau sigma-algebra mulțimilor generate de această clasă.

Continuare din semicerc

Clasa de mulțimi măsurabile din structura sa trebuie să fie un inel de mulțimi (dacă măsura este aditivă) sau o sigma-algebră de mulțimi (dacă măsura este numărabilă aditivă), totuși, pentru a specifica o măsură, în ambele cazuri este suficient pentru a-l defini pe un semiring de mulțimi - atunci măsura poate fi continuată într-un mod unic până la inelul minim (minimal sigma-algebra) de mulțimi care conțin seminelul original.

Fie clasa inițială de mulțimi măsurabile să aibă structura unui semiring: conține o mulțime goală și pentru orice mulțimi A și B din diferența lor admite o partiție finită în mulțimi măsurabile din , adică există o mulțime finită de mulțimi disjunctive din astfel încât ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $C_{1},C_{2},...,C_{n}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

A\setminus B=C_{1}\cup C_{2}\cup \dots \cup C_{n}

Să notăm clasa tuturor submulților din spațiul luat în considerare care admit o partiție finită în mulțimi din . Clasa este închisă sub operațiile de diferență, intersecție și unire a mulțimilor și astfel este un inel de mulțimi care conține (și, evident, minim). Orice funcție aditivă activată se poate extinde în mod unic la o funcție aditivă activată dacă și numai dacă valorile sale sunt compatibile pe . Această cerință înseamnă că pentru orice colecții de mulțimi disjunse și din , dacă uniunea lor este aceeași, atunci și suma măsurilor lor trebuie să fie aceeași: ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $\mu$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $B_{1},B_{2},...,B_{m}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

Dacă , atunci .

\bigcup \limits _{{i=1}}^{{n}}A_{i}=\bigcup \limits _{{j=1}}^{{m}}B_{j}

\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\mu (A_{i})=\sum \limits _{{j=1}}^{{m}}\mu (B_{ j})

Exemplu

Fie și fie clase de mulțimi măsurabile pe spații și având structura unui semi-inel. Seturile de forma , unde , formeaza un semiring de multimi pe spatiu . ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$ $A\ori B$ $A\în {\mathcal {F}}_{1}$ $B\în {\mathcal {F}}_{2}$ ${\mathcal {F}}$ $X=X_{1}\x_{2}$

Dacă măsurile și sunt date pe și , atunci o funcție aditivă este definită la satisfacerea cerinței de consistență. Extinderea sa la inelul minim care conține se numește produsul direct al măsurilor și se notează cu . Dacă măsurile inițiale au fost sigma-aditive pe domeniile lor de definiție, atunci măsura va fi, de asemenea, sigma-aditivă. Această măsură este utilizată în teoria integralelor multiple (vezi teorema lui Fubini ). ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ ${\mathcal {F}}$ $\mu (A\times B)=\mu _{1}(A)\mu _{2}(B)$ ${\mathcal {F}}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $\mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ $\mu$

Variații și generalizări

Una dintre opțiunile de generalizare a conceptului este taxa , care poate lua valori negative

Uneori, o măsură este considerată o funcție arbitrară finită aditivă cu un interval într- un semigrup abelian : pentru o măsură aditivă numărabilă, intervalul natural de valori este un semigrup abelian topologic ( este necesară topologia pentru a putea vorbi despre convergența unei serii de măsuri ale unui număr numărabil de părți măsurabile, pe care în definiția aditivității numărabile este împărțită o mulțime măsurabilă). Un exemplu de măsură nenumerică este o măsură cu valori într-un spațiu liniar , în special o măsură evaluată de proiector implicată în formularea geometrică a teoremei spectrale .

Note

↑ Sazonov V.V. Măsura unui set // Enciclopedia matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 636. - 1184 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
↑ Contraexemplu pentru cazul unui semiring: fie = , = , și definiți funcția astfel: , , , . Este ușor de observat că aditivitatea pe perechi și axiomele semiringului sunt valabile aici, dar nu există nicio aditivitate finită. $X$ $\{1,2,3,4\}$ ${\mathcal {F}}$ $\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},X\}$ $\mu$ $\mu (\varnothing )=0$ $\mu (\{1\})=\mu (\{2\})=\mu (\{3\})=\mu (\{4\})=1$ $\mu (\{1,2\})=2$ $\mu (X)=3$

Literatură

Vulikh, B. Z. Un scurt curs în teoria funcțiilor unei variabile reale (introducere în teoria integralei). — M .: Nauka, 1973. — 352 p.
Khalmosh P. Teoria măsurilor. - M .: Editura de literatură străină , 1953. - 282 p. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787 (cartea este o raritate bibliografică în 2011)
A. N. Kolmogorov , S. V. Fomin Elemente ale teoriei funcțiilor și analizei funcționale Nauka, 1976.
Bogachev V. I. Fundamentals of measure theory, ed. a 2-a, în două volume, Centrul de cercetare Regular and Chaotic Dynamics, Moscova-Izhevsk, 2006.
Bogachev V. I., Smolyanov O. G. Analiză reală și funcțională. Editori: Centrul de Cercetare „Dinamica regulată și haotică”, Institute for Computer Research, 2009. 724 p. ISBN 978-5-93972-742-6 .
Bogachev V.I., Măsuri gaussiene, Nauka, Moscova , 1997.
Bogachev V.I., Măsuri diferențiabile și calculul Mallyavin, Centrul de cercetare Regular and Chaotic Dynamics, Moscova, 2008.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Marele Soviet (1 ed.) Britannica (online) Universalis

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale