Subspațiu

Subspațiul este un concept folosit (direct sau în fraze) în diferite secțiuni ale matematicii.

Un subspațiu este o submulțime a unui spațiu ( afin , vectorial , proiectiv , topologic , metric și așa mai departe), care este el însuși un spațiu de tipul corespunzător cu proprietăți induse de spațiul ambiental.

Prefixul „sub” este folosit în același sens pentru alte entități matematice, cum ar fi subgraf , subgrup , subcategorie și așa mai departe.

Exemple

O submulțime nevidă a unui spațiu vectorial (liniar) peste un câmp este un subspațiu vectorial (liniar) dacă sunt valabile două proprietăți: pentru orice vector , suma și pentru orice vector și orice vector . În special, un subspațiu conține în mod necesar un vector spațiu nul (este și un vector spațiu nul ). $L'\subset L$ $L$ $F$ $x,y\in L'$ $x+y\in L'$ $x\in L'$ $\alpha \în F$ $\alpha x\in L'$ $L'$ $L$ $L'$

Un subspațiu vectorial se numește subspațiu propriu dacă și conține cel puțin un vector diferit de zero. $L'\subset L$ $L'\neq L$ $L'$

Un subspațiu vectorial se numește subspațiu invariant al unei mapări liniare dacă , adică pentru orice vector . Dacă este o valoare proprie a mapării , atunci toți vectorii care satisfac relația (inclusiv vectorul zero) formează un subspațiu invariant al mapării . Se numește subspațiul propriu corespunzător valorii proprii date . $L'\subset L$ $A:L\la L$ $A(L')\subset L'$ $A(x)\in L'$ $x\in L'$ $\lambda$ $A$ $e\in L$ $A(e)=\lambda e$ $A$ $\lambda$

Un subspațiu al unui spațiu vectorial euclidian este, de asemenea, un spațiu euclidian, dar un subspațiu al unui spațiu vectorial pseudo-euclidian poate fi atât pseudo-euclidian (de altă semnătură) cât și spațiu euclidian și poate fi, de asemenea, degenerat sau izotrop [1] .

Un subspațiu al unui spațiu metric cu o metrică are metrica indusă , care este definită prin formula pentru orice [2] . $M'\subset M$ $M$ $\rho$ $\rho'$ $\rho '(x,y)=\rho (x,y)$ $x,y\in M'$

Un subspațiu al unui spațiu topologic cu topologia are topologia indusă , în care mulțimile deschise sunt mulțimile , unde sunt toate mulțimile deschise posibile în topologia [2] . $T'\subset T$ $T$ $\tau$ $\tau '$ $G_{\tau '}=G_{\tau }\cap T'$ $G_{\tau }$ $\tau$

Fie un spațiu proiectiv format din linii ale spațiului vectorial și să fie un subspațiu vectorial. Atunci spațiul proiectiv este un subspațiu proiectiv [3] . $P=P(L)$ $L$ $L'\subset L$ $P'=P(L')\subset P$

Note

↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linear algebra and geometry, - Fizmatlit, Moscova, 2009 (cap. 7, par. 7)
↑ 1 2 Zorich V. A. Analiză matematică. — Orice ediție, volumul 2, cap. IX.
↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linear algebra and geometry, - Any edition, cap. IX, alin. unu.