Setul de acoperire (teoria numerelor)

În matematică , mulțimea de acoperire pentru o secvență de numere întregi este mulțimea de numere prime astfel încât fiecare membru al șirului este divizibil cu cel puțin un număr din mulțime. Termenul „set de acoperire” este folosit numai pentru secvențele cu creștere exponențială.

Numerele Sierpinski și Riesel

Utilizarea termenului „set de acoperire” este legată de numerele Sierpinski și Riesel . Acestea sunt numere naturale impare , pentru care (numărul lui Sierpinski) sau (numărul lui Riesel) sunt compuse. $k$ $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$

Din 1960, se știe că există infinit de numere Sierpinski și Riesel, dar întrucât există infinit de numere de formă sau pentru orice , atunci pentru a dovedi apartenența la numerele Sierpinski și Riesel, este necesar să se verifice dacă orice membru a sirului sau este divizibil cu numerele prime ale multimii de acoperire . $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$ $k$ $k$ $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$

Aceste mulțimi de acoperire sunt formate din numere prime care au o perioadă scurtă în reprezentare binară . Se poate arăta că pentru a obține un set complet de acoperire, perioada trebuie să fie de cel puțin 24 de numere.[ clarifica ] O perioadă de lungime 24 dă un set de acoperire , iar o perioadă de lungime 36 dă seturi de acoperire: ; ; și . Numerele Riesel au aceleași seturi de acoperire ca și numerele Sierpinski. $\{\,3,5,7,13,17,241\,\)$ $\{\,3,5,7,13,19,37,73,\)$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,19,37,109\,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,19,73,109\,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,37,73,109\,\))$

Alte seturi de acoperire

Seturile de acoperire sunt, de asemenea, folosite pentru a demonstra existența secvențelor Fibonacci compuse (secvență fără prim ).

Conceptul de seturi de acoperire poate fi generalizat cu ușurință la alte secvențe. În următoarele exemple, + este folosit în același mod ca în expresiile regulate - înseamnă 1 sau mai multe. De exemplu, 91 + 3 înseamnă set {913, 9113, 91113, 911113…}

Un exemplu este secvența:

$(82\cdot 10^{n}+17)/9$ sau $91^{+}3$
$(85\cdot 10^{n}+41)/9$ sau $94^{+}9$
$(86\cdot 10^{n}+31)/9$ sau $95^{+}9$

În fiecare caz, fiecare termen este divizibil cu unul dintre numerele prime {3,7,11,13}. Aceste numere prime formează o mulțime de acoperire exact ca pentru numerele Sierpinski și Riesel.

Un caz și mai simplu este următoarea secvență:

$(76\cdot 10^{n}-67)/99$ ( n trebuie să fie impar ) sau [Secvență: 7, 767, 76767, 7676767, 767676767 etc.] $(76)^{+}7$

Se poate arăta că:

Dacă , atunci (cu numărul corespunzător de repetări) este divizibil cu 7. $n=6k+1$ $(76)^{+}7$
Dacă , atunci este divizibil cu 13. $n=6k+3$ $(76)^{+}7$
Dacă , atunci este divizibil cu 3. $n=6k+5$ $(76)^{+}7$

Astfel, avem un set de acoperire de doar trei numere prime {3,7,13}. Acest lucru a devenit posibil doar pentru că am impus condiția ca n să fie impar.

Setul de acoperire se găsește și în secvența:

$(343\cdot 10^{n}-1)/9$ sau . $381^{+}$

Se poate arăta că:

Dacă , atunci este divizibil cu 3. $n=3^{k}+1$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$
Dacă , atunci este divizibil cu 3. $n=3^{k}+2$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$
Dacă , atunci se descompune în . $n=3^{k)$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$ $((7\cdot 10^{k}-1)/3)\cdot ((49\cdot 10^{2}k+7\cdot 10^{k}+1)/3)$

Deoarece poate fi scris ca , pentru secvență avem un set de acoperire - un set de acoperire cu un număr infinit de membri. $(7\cdot 10^{k}-1)/3$ $23^{+}$ $381^{+}$ ${\displaystyle \{\,3,37,23^{+}\,\))$

Link -uri

Plateau and Depression Primes Arhivat 26 iulie 2013 la Wayback Machine
Numerele asemănătoare lui Sierpinski Arhivate pe 17 iulie 2012 la Wayback Machine
Yves Gallot, A search for some small brier numbers Arhivat 9 aprilie 2016 la Wayback Machine
Louis Helm lhelm. Phil Moore, Payam Samidoost, George Woltman. Rezolvarea problemei mixte Sierpiński Arhivat 12 martie 2016 la Wayback Machine , INTEGRES: Electronic journal of combinatorial number theory 8 (2008), #A61