Polilogaritm

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 decembrie 2020; verificările necesită 5 modificări .

Polilogaritmul este o funcție specială desemnată și definită ca o serie infinită de puteri $\operatorname {Li}_{s}(z)$

\operatorname {Li}_{s}(z)=\sum _{{k=1}}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},

unde s și z sunt numere complexe și . Pentru celelalte z, se face o generalizare folosind continuarea analitică . $|z|<1$

Harta înălțimii Polylog în plan complex
$\operatorname {Li}_{{-3}}(z)$
$\operatorname {Li}_{{-2}}(z)$
$\operatorname {Li}_{{-1}}(z)$
$\operatorname {Li}_{{0}}(z)$
$\operatorname {Li}_{{1}}(z)$
$\operatorname {Li}_{{2}}(z)$
$\operatorname {Li}_{{3}}(z)$

Un caz special este atunci când . Funcțiile și sunt numite dilogaritm și , respectiv, trilogaritm . Pentru polilogaritmi de diverse ordine, relația $s=1$ $\operatorname {Li}_{{1}}(z)=-\ln(1-z)$ $\operatorname {Li}_{{2}}(z)$ $\operatorname {Li}_{{3}}(z)$

\operatorname {Li}_{{s+1}}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li}_{s}(t)}{t}}\, {\mathrm {d}}t.

Definițiile alternative ale polilogaritmului sunt integralele Fermi-Dirac și Bose-Einstein .

Valori private

\operatorname {Li}_{1}({\tfrac 12})=\ln 2

\operatorname {Li}_{2}({\tfrac 12})={\tfrac 1{12}}\pi ^{2}-{\tfrac 12}(\ln 2)^{2}

\operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2)})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1 }{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)\,

(unde este constanta Aperi )

\,\zeta (3)\,

\operatorname {Li}_{{1}}(z)=-\ln(1-z)

\operatorname {Li}_{{0}}(z)={z \over 1-z}

\operatorname {Li}_{{-1}}(z)={z \over (1-z)^{2}}

\operatorname {Li}_{{-2}}(z)={z\,(1+z) \over (1-z)^{3}}

\operatorname {Li}_{{-3}}(z)={z\,(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}

\operatorname {Li}_{{-4}}(z)={z\,(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}\, .

Literatură

Abel, NH Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II (fr.) / Sylow, L.; Lie, S.. - Christiania [Oslo]: Grøndahl & Søn, 1881. - S. 189-193. (Acest manuscris din 1826 a fost publicat doar postum.)
Abramowitz, M.; Stegun, IA Manual de funcții matematicecu formule , grafice și tabele matematice . - New York: Dover Publications , 1972. - ISBN 0-486-61272-4 .
Bailey, D.H.; Borwein, PB; Plouffe, S. Despre calculul rapid al diverselor constante polilogaritmice // Matematica calculului : jurnal. - 1997. - Aprilie ( vol. 66 , nr. 218 ). - P. 903-913 . - doi : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 .
Bailey, DH & Broadhurst, DJ (20 iunie 1999), A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder, arΧiv : math.CA/9906134 [math.CA].
Berndt, B.C. Caietele lui Ramanujan, partea a IV -a (neopr.) . - New York: Springer-Verlag , 1994. - S. 323-326. - ISBN 0-387-94109-6 .
Boersma, J.; Dempsey, JP Despre evaluarea funcției chi a lui Legendre // Matematica calculului : jurnal. - 1992. - Vol. 59 , nr. 199 . - P. 157-163 . - doi : 10.2307/2152987 . — .
Borwein, JM; Bradley, D.M.; Broadhurst, DJ; Lisonek, P. Valori speciale ale polilogaritmilor multiple // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică . - 2001. - Vol. 353 , nr. 3 . - P. 907-941 . - doi : 10.1090/S0002-9947-00-02616-7 .
Clunie, J. Despre funcțiile Bose-Einstein // Proceedings of the Physical Society, Section A : jurnal. - 1954. - Vol. 67 , nr. 7 . - P. 632-636 . - doi : 10.1088/0370-1298/67/7/308 .
Cohen, H.; Lewin, L.; Zagier, D. A Sixteenth-Order Polylogaritm Ladder (neopr.) // Experimental Mathematics. - 1992. - T. 1 , Nr. 1 . - S. 25-34 . Arhivat din original la 1 martie 2012.
Coxeter, HSMFuncțiile lui Schläfli și Lobatschefsky (neopr.) // Quarterly Journal of Mathematics (Oxford). - 1935. - V. 6 , Nr. 1 . - S. 13-29 . - doi : 10.1093/qmath/os-6.1.13 .
Cvijovic, D.; Klinowski, J. Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogaritms // Proceedings of the American Mathematical Society : journal . - 1997. - Vol. 125 , nr. 9 . - P. 2543-2550 . - doi : 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
Cvijovic, D. Noi reprezentări integrale ale funcției polilogaritmului (engleză) // Proceedings of the Royal Society (Londra), Series A : journal. - 2007. - Vol. 463 , nr. 2080 . - P. 897-905 . - doi : 10.1098/rspa.2006.1794 .
Erdelyi, A .; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, FG Funcții transcendentale superioare, voi. 1 (neopr.) . — New York: Krieger, 1981.
Fornberg, B.; Kölbig, KS Zerouri complexe ale funcției Jonquiére sau polilogaritm // Matematica calculului : jurnal. - 1975. - Vol. 29 , nr. 130 . - P. 582-599 . - doi : 10.2307/2005579 . — .
Biblioteca științifică GNU. Manual de referință (2010). Consultat la 13 iunie 2010. Arhivat din original la 14 mai 2012. (nedefinit)
Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I.M. Tabele de integrale, serii și produse . — al 4-lea. - New York: Academic Press , 1980. - ISBN 0-12-294760-6 .
Guillera, J.; Sondow, J. Integrale duble și produse infinite pentru unele constante clasice prin continuarea analitică a transcendentului lui Lerch // The Ramanujan Journal : jurnal. - 2008. - Vol. 16 , nr. 3 . - P. 247-270 . - doi : 10.1007/s11139-007-9102-0 . - arXiv : math.NT/0506319 .
Hain, RM (25 martie 1992), Polilogaritmi clasici, arΧiv : alg-geom/9202022 [alg-geom].
Jahnke, E.; Emde, F. Tabele de funcții cu formule și curbe . — al 4-lea. — New York: Dover Publications , 1945.
Jonquière, A. Note sur la série $\scriptstyle \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{s}}}$ (franceză) // Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1889. - T. 17 . - S. 142-152 .
Kolbig, KS; Mignaco, JA; Remiddi, E. Despre polilogaritmii generalizați ai lui Nielsen și calculul lor numeric // BIT : journal. - 1970. - Vol. 10 . - P. 38-74 . - doi : 10.1007/BF01940890 .
Kirillov, AN Dilogaritm identități // Progresul suplimentului de fizică teoretică : jurnal. - 1995. - Vol. 118 . - P. 61-142 . - doi : 10.1143/PTPS.118.61 . - arXiv : hep-th/9408113 .
Lewin, L. Dilogaritmi și funcții asociate (nedefinite) . — Londra: Macdonald, 1958.
Lewin, L. Polilogaritmi și funcții asociate (nedefinite) . - New York: Olanda de Nord, 1981. - ISBN 0-444-00550-1 .
Lewin, L. (Ed.). Proprietățile structurale ale polilogaritmilor (neopr.) . — Providence, R.I.: Amer. Matematică. Soc., 1991. - V. 37. - (Requestre şi monografii matematice). — ISBN 0-8218-1634-9 .
Markman, B. Funcția Riemann Zeta (nedefinită) // BIT. - 1965. - T. 5 . - S. 138-141 .
Maximon, LC Funcția de dilogaritm pentru argument complex (neopr.) // Proceedings of the Royal Society (Londra), Series A. - 2003. - V. 459 , No. 2039 . - S. 2807-2819 . - doi : 10.1098/rspa.2003.1156 .
McDougall, J.; Stoner, E. C. The calculation of Fermi-Dirac functions (neopr.) // Philosophical Transactions of the Royal Society (Londra), Series A. - 1938. - V. 237 , No. 773 . - S. 67-104 . doi : 10.1098 / rsta.1938.0004 .
Nielsen, N. Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen (germană) // Nova Acta Leopoldina. - Halle - Leipzig, Germania: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher, 1909. - T. XC , No. 3 . - S. 121-212 .
Prudnikov, A. P.; Marichev, OI; Brychkov, Yu.A. Integrale și serii, vol. 3 : Mai multe funcții speciale . - Newark, NJ: Gordon și Breach , 1990. - ISBN 2-88124-682-6 . (vezi § 1.2, „Funcția zeta generalizată, polinoame Bernoulli, polinoame Euler și polilogaritmi”, p. 23.)
Robinson, JE Notă despre funcțiile integrale Bose-Einstein (neopr.) // Physical Review, Series 2. - 1951. - V. 83 , No. 3 . - S. 678-679 . - doi : 10.1103/PhysRev.83.678 .
Rogers, LJ Despre teoreme ale sumei funcțiilor legate de seria // Proceedings of the London Mathematical Society (2) : journal. - 1907. - Vol. 4 , nr. 1 . - P. 169-189 . - doi : 10.1112/plms/s2-4.1.169 . $\scriptstyle \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}$
Erwin Schrodinger . Termodinamică statistică (neopr.) . — al 2-lea. - Cambridge, Marea Britanie: Cambridge University Press , 1952.
Truesdell, C. Despre o funcție care apare în teoria structurii polimerilor // Annals of Mathematics, Series 2 : journal. - 1945. - Vol. 46 , nr. 1 . - P. 144-157 . - doi : 10.2307/1969153 . — .
Vepstas, L. (februarie 2007), Un algoritm eficient pentru accelerarea convergenței serii oscilatorii, util pentru calcularea polilogaritmului și a funcțiilor zeta Hurwitz, arΧiv : math.CA/0702243 [math.CA].
Whittaker, E.T .; Watson, GN A Curs de analiză modernă (nedefinită) . — al 4-lea. - Cambridge, Marea Britanie: Cambridge University Press , 1952.
Wood, DC Calculul polilogaritmilor. Raport tehnic 15-92* (PS). Canterbury, Marea Britanie: University of Kent Computing Laboratory (iunie 1992). Consultat la 1 noiembrie 2005. Arhivat din original pe 14 mai 2012. (nedefinit)
Zagier, D. (1989). „Funcția dilogaritmului în geometrie și teoria numerelor”. Teoria numerelor și subiecte conexe: lucrări prezentate la Colocviul Ramanujan, Bombay, 1988 . Studii de matematică. 12 . Bombay: Tata Institute of Fundamental Research și Oxford University Press. pp. 231-249. ISBN 0-19-562367-3 .(a apărut și ca „Dilogaritmul remarcabil” în Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), pp. 131-145 și ca capitolul I al ( Zagier 2007 ).)
Zagier, D. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II - On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization / Cartier, P.; Julia, B.; Moussa, P.; Vanhove, P. - Berlin: Springer-Verlag , 2007. - P. 3-65. — ISBN 978-3-540-30307-7 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Polylogarithm (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Dilogarithm (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .