Dilogaritm

Dilogaritmul este o funcție specială în matematică , care se notează și este un caz special al polilogaritmului pentru . Dilogaritmul este definit ca $\mathrm {Li} _{2}(z)$ $\mathrm {Li} _{n}(z)$ $n=2$

\operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\frac {\ln(1-t)}{t))\,\mathrm {d} t=\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{j}}{j^{2}}}\;.

Definiția dată a dilogaritmului este adevărată pentru valorile complexe ale variabilei . Pentru valori reale , această funcție are o tăietură de-a lungul axei reale de la la . De obicei, valoarea funcției de pe tăietură este definită astfel încât partea imaginară a dilogaritmului să fie negativă: $z$ $z=x$ $unu$ $\infty$

\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}(x)\right]=\left\{0\;\;(x\leq 1);\quad -\pi \ln {x}\;\;(x>1)\right\}

Funcția este adesea numită dilogaritmul lui Euler, după Leonhard Euler , care a considerat această funcție în 1768 [1] . Uneori, dilogaritmul este numit funcția lui Spence sau integrala Spence [2] în onoarea matematicianului scoțian William Spence ( William Spence , 1777-1815) [3] , care la începutul secolului al XIX-lea a studiat funcțiile corespunzătoare și . Numele „dilogaritm” a fost introdus de Hill ( CJ Hill ) în 1828. $\operatorname {Li} _{2}(z)$ $-\mathrm {Li} _{2}(-z)$ $\mathrm {Li} _{2}(1-z)$

Relații funcționale

Există o serie de relații funcționale utile pentru dilogaritm,

\operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _ {2}(z^{2})

\operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}

\operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2 }-\ln z\;\ln(1-z)

{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {z}{1+z))\right)=-{\textstyle { \frac {1}{2}}}{\ln ^{2}(1+z)))

\operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li } _{2}(1-z^{2})=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-\ln z\ln(1+z)

\operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{z))\right)=-{\textstyle {\ frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}

Pentru valabil $x>1$

\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\textstyle {\frac {1 }{3}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{x}-{\rm {i}}\pi \ln {x }

Sunt cunoscute și relații care conțin două variabile independente - de exemplu, identitatea lui Hill:

\operatorname {Li} _{2}(xy)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)-\operatorname {Li} _{2 }\left({\frac {x(1-y)}{1-xy}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y(1-x)}{1 -xy}}\right)-\ln \left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)\ln \left({\frac {1-y}{1-xy}}\ dreapta)

Valori private

\operatorname {Li} _{2}(0)=0

\operatorname {Li} _{2}(1)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}

\operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}

\operatorname {Li} _{2}({\textstyle {\frac {1}{2}}})={\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}- {\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}

Folosind relația dintre funcțiile lui și , obținem $X$ $1/x$

\operatorname {Li} _{2}(2)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi ^{2}-{\rm {i}}\pi \ln {2 }

Există, de asemenea, o serie de rezultate pentru argumente legate de raportul de aur , $\phi ={\textstyle {\frac {1}{2}}}(1+{\sqrt {5}})$

\operatorname {Li} _{2}(-\phi )=-{\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }

\operatorname {Li} _{2}(-\phi ^{-1})=-{\textstyle {\frac {1}{15)}}\pi ^{2}+{\textstyle {\ frac {1}{2}}}\ln ^{2}{\phi }

\operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-1})={\textstyle {\frac {1}{10)}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{ \phi}

\operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-2})={\textstyle {\frac {1}{15)}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{ \phi}

și, de asemenea, pentru dilogaritmul argumentului imaginar,

\operatorname {Li} _{2}(\pm {\rm {i)})=-{\textstyle {\frac {1}{48)}}\pi ^{2}\pm {\rm {IG

unde este constanta catalană . $G$

Raporturi pentru valori particulare

\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{3}}}\right) - {\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname { Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}-{\ stil text {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}

\operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+ \ln {2}\;\ln {3}-{\textstyle {\frac {1}{2)}}\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {1}{3)} }\ln ^{2}{3}

\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname { Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+2\ ln {2}\;\ln {3}-2\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {2}{3))}\ln ^{2}{3)

\operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+ {\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}

\operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle { \frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}\!\left({\textstyle {\frac {9}{} 8}}}\dreapta)

36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{2}}}\right) -36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right) -12\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+6\operatorname { Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{64}}}\right)={\pi }^{2}

Funcții legate de dilogaritm

Funcția Clausen $\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

Apare atunci când se consideră un dilogaritm al cărui argument se află pe cercul unitar din planul complex,

\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{ 2}-{\textstyle {\frac {1}{4}}}\theta (2\pi -\theta)+{\rm {i}}\;\operatorname {Cl} _{2}(\theta) ,\quad (0\leq \theta \leq 2\pi )

În acest fel,

\operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i))\theta} \right)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i)}})}\left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm { i}}\theta }\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(e^{-{\rm {i}}\theta }\right)\right]

Funcția Lobaciovski

Această funcție este utilizată atunci când se calculează volume în geometria hiperbolică și este legată de funcția Clausen (și, prin urmare, de dilogaritm),

L(\theta)=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d))\tau \;\ln |\cos \tau |=-{\textstyle {\frac {1 }{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )+\theta \ln {2}

Uneori se folosește o altă definiție a funcției Lobachevsky,

\Lambda (\theta)=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d))\tau \;\ln |2\sin \tau |={\textstyle {\frac { 1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )

Arc tangentă integrală $\operatorname {Ti} _{2}(y)$

Apare atunci când se consideră dilogaritmul argumentului imaginar,

\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\operatorname {Li} _{2}(-y^ {2})+{\rm {i}}\;\operatorname {Ti} _{2}(y)

În acest fel,

\operatorname {Ti} _{2}(y)=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)-\operatorname {Li} _{2} (-{\rm {i}}y)\right]

Funcția Legendre ${\displaystyle {\chi _{2}(z)))$

Această funcție este exprimată în termeni de dilogaritmi ca

\chi _{2}(z)=\sum \limits _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{2j+1}}{(2j+1)^{2} }}={\textstyle {\frac {1}{2}}}\left[\operatorname {Li} _{2}(z)-\operatorname {Li} _{2}(-z)\right]

În special, .

\chi _{2}({\rm {i}}y)={\rm {i}}\operatorname {Ti} _{2}(y)

Note

↑ Leonhard Euler , Institutiones calculi integrals
↑ Antonov N. V., Vasiliev A. N. Critical dynamics as field theory // Teoretă. - 1984. - T. 60. Nr. 1. - S. 59-71 . Preluat la 1 aprilie 2019. Arhivat din original la 19 iunie 2022. (nedefinit)
↑ William Spence - Biografie . Preluat la 7 februarie 2011. Arhivat din original la 28 octombrie 2019. (nedefinit)

Link -uri

Leonard Lewin. Dilogaritmi și funcții asociate. — Macdonald, Londra, 1958. MR : 0105524
Leonard Lewin. Polilogaritmi și funcții asociate. — Olanda de Nord, New York, Oxford, 1981.
Don Zagier , Funcția dilogaritm (PDF)
Weisstein, Eric W. Dilogarithm (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .