Ordin de mărime

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 18 iunie 2020; verificările necesită 7 modificări .

Un ordin de mărime este o clasă de echivalență a cantităților (sau scări) care exprimă anumite mărimi, în cadrul căreia toate mărimile au o relație fixă cu mărimile corespunzătoare din clasa anterioară. ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}=\lbrace {}x_{n}\rbrace$ $r={\frac {x_{n}}{x_{{n-1}}}}$

Mai des, ordinea nu este menită să însemne clasa de echivalență în sine, ci unele dintre caracteristicile sale numerice care definesc această clasă în condiții date (de exemplu, numărul ordinal al clasei , cu condiția ca o clasă să fie specificată sau implicată). ${\mathcal {C}}_{n}$ $n$ ${\mathcal {C}}_{0}$

Ordinea numerelor

Când lucrați cu numere reprezentate într-un anumit sistem numeric bazat pe , cel mai adesea ia și , . În același timp, coincide cu numărul de cifre dintr-un număr, dacă este scris într-un sistem de numere pozițional . $b$ $r=b$ $1\în {\mathcal {C}}_{1}$ $b\in {\mathcal {C}}_{2}$ $n$

De exemplu, pentru sistemul numeric zecimal în acest caz, fiecare deceniu de numere pozitive va aparține doar unei singure ordine:

${\mathcal {C}}_{1}\supset \lbrace {}1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$
${\mathcal {C}}_{2}\supset \lbrace {}10,20,30,40,50,60,70,80,90\rbrace$
${\mathcal {C}}_{3}\supset \lbrace {}100.200.300.400.500.600.700.800.900\rbrace$

În mod similar, puteți determina ordinea numerelor pentru alte baze ale sistemului numeric. Cel mai adesea considerat

ordinele de bază ale numerelor , $b=10$
comenzi de bază $b=2$
ordinele de bază ale numerelor . $b=e$

Ordinea numerelor în limbaj natural

În limbile naturale, există expresii precum „un ordin de mărime mai mult”, „multe ordine de mărime mai mult”, „cu câteva ordine de mărime mai puțin”. În cele mai multe cazuri, sunt implicați exponenți zecimali, adică aceste expresii pot fi citite ca „de aproximativ zece ori mai mult”, „de aproximativ o dată mai mult, unde este suficient de mare”, „de aproximativ 100 de ori mai puțin”. De asemenea, folosirea eronată a expresiei „de ordinul lui N”, unde N este un anumit număr, s-a răspândit recent. În același timp, pe baza contextului, este clar că se înțelege „despre N”, ceea ce, desigur, nu corespunde definiției termenului „ordinea numărului”. $10^{n}$ $n$

Ordinea numerelor și funcție logaritmică

Numerele corespunzătoare aparținând ordinelor adiacente pot fi scrise ca , unde este primul dintre numere. Această proprietate determină legătura dintre conceptul de ordine a unui număr și funcția logaritmică exponențială și inversă . ${\mathcal {C}}_{{n}},{\mathcal {C}}_{{n+1}},{\mathcal {C}}_{{n+2}},\ldots ,{ \mathcal {C}}_{{n+d}}$ $x,rx,r^{2}x,\ldots ,r^{d}x$ $x\in {\mathcal {C}}_{{n}}$

În special, folosind conceptul de funcție logaritmică, se poate formula o condiție necesară pentru ca numerele să aparțină aceluiași ordine: Să fie dată o anumită partiție în ordine pe mulțimea numerelor pozitive. Dacă două numere sunt de aceeași ordine, atunci . $\left|\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right|<1$

Dovada

Într-adevăr, să fie numerele și numărul minim și maxim aparținând comenzii . Dacă și numărul aparține ordinului , atunci valoarea acestuia trebuie să îndeplinească condiția . În același timp, numerele și aparțin ordinelor adiacente ordinului și , respectiv. De aici rezultă că pentru orice număr din această ordine, relația este valabilă . $m\in {\mathcal {C}}_{n}$ $M\în {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $x\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $m\leq x\leq M$ $rm$ ${\frac {1}{r}}M$ ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{{n+1}}$ ${\mathcal {C}}_{{n-1}}$ $X$ ${\frac {1}{r}}M<m\leq x\leq M<rm$

Fie două numere și aparțin ordinului dat . Apoi . $x_{1}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $-1=\log _{r}{\frac {m}{rm}}<\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}<\log _{r}{ \frac {M}{{\frac {1}{r}}M}}=1$

Diferența de comandă

Dacă două numere și aparțin ordinelor și într-o anumită împărțire a numerelor pozitive în ordine, atunci valoarea se numește uneori diferența în ordinele acestor numere. $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}\în {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}\în {\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d=d(x_{1},x_{2})=n_{2}-n_{1}$

Pentru două numere și diferența ordinelor lor pot fi găsite ca pentru . $x_{1}$ $x_{2}$ $d=\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor$ $x_{2}\geq x_{1}$

Dovada

Alegem un număr aparținând comenzii și corespunzător unui număr din comandă . După definiția ordinii, există un număr întreg astfel încât . Înțelegem asta . $x_{2}^{{\mathord {*}}}\in {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}=r^{{-d}}x_{2}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\log _{r}{\frac {r^{d}x_{2}^{{\mathord {*} }}}{x_{1}}}=d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}$

Numerele și aparțin aceleiași ordine și deci . În același timp, numărul este un întreg, ceea ce înseamnă . $x_{1}$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}<1$ $d$ $d=\left\lfloor {}d\right\rfloor =\left\lfloor {}d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*)))}{x_{1 ))}\right\rfloor =\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor$

În cazul unei diferențe de comenzi, uneori acestea sunt luate cu semn negativ . $x_{2}\leq x_{1}$ $d(x_{1},x_{2})=-d(x_{2},x_{1})$

Egalitatea diferenței de ordine cu zero este o condiție necesară și suficientă pentru ca numerele să aparțină aceluiași ordin.

Generalizarea diferenței de ordine

Uneori, conceptul de diferență de ordine este generalizat, eliminând cerința apartenenței la clasa numerelor întregi și definindu-l prin expresia . $d=\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}$

În această interpretare, expresii precum „numere și diferă cu cel mult jumătate de ordin de mărime” capătă sens, adică sau . $x_{1}$ $x_{2}$ $\left|\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|\leq {\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{{\sqrt {r}}}}x_{1}\leq x_{2}\leq {\sqrt {r}}x_{1}$

Vezi și

Link -uri

Brians, Paus Ordinele de mărime . Preluat la 9 mai 2013. Arhivat din original la 22 aprilie 2017. (nedefinit)
Ordinul de mărime . Wolfram mathworld . Consultat la 3 ianuarie 2017. Arhivat din original pe 6 ianuarie 2017. (nedefinit)

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană
În cataloagele bibliografice	GND : 4388665-6