Funcție inversă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 15 iulie 2022; verificările necesită 13 modificări .

O funcție inversă este o funcție care inversează dependența exprimată de funcția dată. De exemplu, dacă o funcție a lui x dă y , atunci funcția sa inversă a lui y dă x . De obicei se notează inversul unei funcții , uneori se folosește și notația . $f$ $f^{-1}$ $f^{\mathrm{inv))$

O funcție care are inversă se numește reversibilă .

Definiție

O funcție este numită inversă unei funcții dacă sunt valabile următoarele identități: $g:Y\la X$ $f:X\la Y$

$f(g(y))=y$ pentru toți $y\în Y;$
$g(f(x))=x$ pentru toți $x\în X.$

Definiții înrudite

O funcție se numește inversul stâng al unei funcții dacă pentru toate . $g:Y\la X$ $f:X\la Y$ $g(f(x))=x$ $x\în X$
Funcția se numește inversul drept al funcției dacă pentru toate [1] . $g:Y\la X$ $f:X\la Y$ $f(g(y))=y$ $y\în Y$

Existenta

Pentru a găsi funcția inversă, trebuie să rezolvați ecuația pentru . Dacă are mai multe rădăcini, atunci nu există o funcție inversă. Astfel, o funcție este inversabilă pe un interval dacă și numai dacă este unu-la-unu pe acest interval . $y = f(x)$ $X$ $f$ $f(x)$ $(a;b)$

Pentru o funcție continuă, exprimarea dintr-o ecuație este posibilă dacă și numai dacă funcția este strict monotonă (vezi teorema funcției implicite ). Cu toate acestea, o funcție continuă poate fi întotdeauna inversată la intervale de monotonitate strictă. De exemplu, este funcția inversă a lui k pe , deși funcția inversă este diferită pe intervalul: . $F(y)$ $y$ $x - F(y) = 0$ $F(y)$ $\sqrt{x}$ $x^{2}$ $[0, +\infty)$ $(-\infty, 0]$ $-\sqrt{x}$

Pentru existența unei funcții inverse nu este necesară nici continuitatea, nici monotonitatea funcției inițiale. Exemplu: funcția unde este funcția Dirichlet este discontinuă și nu monotonă, dar pentru aceasta există inversul [2] : $y=x+D(x),$ $D(x)$ $x=yD(y).$

Exemple

Dacă , undeva $F:\mathbb{R} \la \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x$ $a>0,a\neq 1,$ $F^{-1}(x) = \log_a x.$
Dacă , unde sunt constantele fixe și , atunci $F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}$ $a,b\în \mathbb{R}$ $a \neq 0$ $F^{-1}(x) = \frac{xb}{a}.$
Dacă , atunci $F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z$ $F^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}.$

Proprietăți

Domeniul este multimea si domeniul este multimea . $F^{-1}$ $Y$ $X$
Prin construcție, avem:

y = F(x) \Săgeată la stânga x = F^{-1}(y)

F\left(F^{-1}(y)\dreapta) = y,\; \forall y \in Y

F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X

sau mai scurt

F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y

F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X

unde denotă compoziția funcțiilor și sunt mapările identice pe și, respectiv. $\circ$ $\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y$ $X$ $Y$

O astfel de cartografiere care („invers dreapta”) este numită o secțiune a mapării . $G\colon \,Y\la X$ $F\circ G=\mathrm {id} _{Y}$ $F$

Funcția este inversă cu : $F$ $F^{-1}$

\left(F^{-1}\right)^{-1} = F

Să fie o bijecție. Fie funcția sa inversă. Apoi graficele funcțiilor și sunt simetrice față de dreapta . $F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}$ $F^{-1}:Y \la X$ $y = F(x)$ $y = F^{-1}(x)$ $y=x$
De asemenea, dacă o funcție are un invers , atunci graficele acestor funcții vor fi simetrice față de dreapta . $f(x)$ $f^{-1}(x)$ $y=x$

Teorema . Compoziția oricăror două funcții inversabile este o funcție inversabilă, adică . ${\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1)$

Dovada
Deoarece și pentru orice funcție reversibilă , unde este transformarea identității, putem scrie următoarele egalități. $\alpha \circ {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\circ \alpha =e$ $\alpha \circ e=e\circ \alpha =\alpha$ $\alfa$ $e$ Avem: $e=e\Longleftrightarrow e=f\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=f\circ g\circ g^{-1}\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=\left( f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right).$ Să acționăm în stânga după funcție și să obținem: Teorema este demonstrată. ${\left(f\circ g\right)}^{-1)$ ${\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \mid e=\left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f ^{-1}\right)\Longftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ e={\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1 }=e\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1 }\circf^{-1}.$

Această afirmație este ușor de reținut astfel: „ Jacheta se pune după cămașă și se scoate înainte ”.

Extinderea seriei de putere

Funcția inversă a unei funcții analitice într-o anumită vecinătate a unui punct poate fi reprezentată ca o serie de puteri : $x_{0}$

f^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(yf(x_{0}))^ {k}}{k!}},

unde funcțiile sunt date prin formula recursivă: $A_k$

A_{n}(x)={\begin{cases}x\;,\;n=0\\{\frac {A_{n-1}'(x)}{f'(x)} }\;,\;n>0\end{cases}}

Vezi și

Note

↑ Kulikov L.Ya. „Algebră și teoria numerelor: manual pentru institutele pedagogice”
↑ Shibinsky V. M. Exemple și contraexemple în cursul analizei matematice. Tutorial. - M . : Liceu, 2007. - S. 29-30. — 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .